Transformada de Möbius

Este artículo trata sobre la transformada en teoría de números. Para la transformación en geometría proyectiva, véase transformación de Möbius.

En teoría de números, la transformada de Möbius, llamada así en honor a August Ferdinand Möbius es una transformación de funciones aritméticas. Si f es una función definida sobre los números enteros positivos, Tf viene dada por

${\displaystyle (Tf)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu \left({n \over d}\right)=\sum _{d\mid n}f\left({n \over d}\right)\mu (d)}$

donde μ es la función de Möbius clásica.^[1]​ En un lenguaje más común y extendido por razones históricas, la función Tf se llama inversa de Möbius de f.^[2]​ (La notación d | n significa que d es un divisor de n).

La transformación toma funciones aritméticas, o sea, funciones f: N → C y devuelve funciones aritméticas. Sobre funciones generadas mediante series de Dirichlet, se corresponde a una división por la función zeta de Riemann.

La transformada inversa T^-1f viene dada por

${\displaystyle (T^{-1}f)(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$

Relaciones con series

Sea

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d\mid n}b_{d}}$ 

de manera que

${\displaystyle b_{n}=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d}}$ 

sea su transformada de Möbius. Las transformadas están relacionadas por medio la serie de Lambert de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$ 

y por medio de las series de Dirichlet:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}$ 

donde ${\displaystyle \zeta (s)}$  es la función zeta de Riemann.

Véase también

• Fórmula de inversión de Möbius

Referencias

1. Pollack, Paul. «The Möbius transform and the infinitude of primes» (PDF) (en inglés). Consultado el 5 de enero de 2012. 
2. Schroeder, Manfred Robert (2006). «20. The Möbius Function and the Möbius Transform». Number theory in science and communication (en inglés) (4 edición). New York: Springer. pp. 220-222. ISBN 3540265961. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Möbius Transform». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q3537574