Topología traza

En topología, la topología traza (también, inducida o relativa) es la topología que se define sobre un subconjunto ${\displaystyle Y\subseteq X}$ a partir de la topología del espacio topológico ${\displaystyle X}$.

Definición formal

Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$  un espacio topológico e ${\displaystyle Y}$  un subconjunto de ${\displaystyle X}$ . Entonces, la topología traza sobre ${\displaystyle Y}$  es la topología menos fina que hace continua a la inyección canónica ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$ , es decir, la aplicación definida por ${\displaystyle i(y)=y,\forall y\in Y}$ .

Es posible probar que los abiertos de la topología traza sobre ${\displaystyle Y\subseteq X}$  son las intersecciones de ${\displaystyle Y}$  con los abiertos de ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}=\{Y\cap A:A\in {\mathcal {T}}\}}$ .

La topología traza se denota mediante ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$  y se dice que ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}|_{Y})}$  es un subespacio topológico del espacio ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ . Si la aplicación ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$  es abierta, se dice que ${\displaystyle Y}$  es un subespacio abierto, y que ${\displaystyle Y}$  es un subespacio cerrado si ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$  es cerrada.

Propiedades

Propiedades de la topología traza sobre un subespacio ${\displaystyle Y\subseteq X}$ :^[1]​

• Un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$  es abierto en la topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$  si, y sólo si, existe un abierto ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$  tal que ${\displaystyle U'=Y\cap U}$ .
• Un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$  es cerrado en la topología ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$  si, y sólo si, existe un cerrado ${\displaystyle U}$  de ${\displaystyle X}$  tal que ${\displaystyle U'=Y\cap U}$ .
• Si ${\displaystyle B\subseteq Y\subseteq X}$ , entonces ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{B}=({\mathcal {T}}|_{Y})|_{B}}$ .
• Si ${\displaystyle Y}$  es un subespacio abierto de ${\displaystyle X}$ , un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$  es abierto en ${\displaystyle Y}$  si, y sólo si, es abierto en ${\displaystyle X}$ .
• Si ${\displaystyle Y}$  es un subespacio cerrado de ${\displaystyle X}$ , un conjunto ${\displaystyle U'\subseteq Y}$  es cerrado en ${\displaystyle Y}$  si, y sólo si, es cerrado en ${\displaystyle X}$ .

Propiedades hereditarias

Una propiedad topológica ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  se dice que es hereditaria si los subespacios de un espacio topológico que cumple ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  también cumplen ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ .

Ejemplos de propiedades que son hereditarias:^[2]​

• Los axiomas de separación T₀, T₁ y T₂ (Hausdorff).
• El primer y segundo axioma de numerabilidad.
• Ser metrizable.

La compacidad y la propiedad de ser normal son ejemplos de propiedades no hereditarias. Los subespacios abiertos heredan la separabilidad y los subespacios cerrados heredan la propiedad de ser de Lindelöf.

Véase también

• Espacio topológico
• Topología
• Espacio de Hausdorff
• Conjunto abierto
• Funciones abiertas y cerradas

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

Referencias

1. Llopis, José L. «Topología inducida (subespacio)». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 8 de octubre de 2019. 
2. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 

Enlaces externos

• The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. (en inglés)
• Ejemplos de subespacios en Topología inducida (subespacio)

•   Datos: Q660730