Espacio compacto
En topología, un espacio compacto es un espacio que tiene propiedades similares a un conjunto finito, en cuanto a que las sucesiones contenidas en un conjunto finito siempre contienen una subsucesión convergente. La noción de compacidad es una versión más general de esta propiedad.
Un conjunto compacto es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto.
Definición
La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de recubrimiento abierto:
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Dado un recubrimiento C de un conjunto A, un subrecubrimiento D es una subfamilia de C, D ⊆ C que sigue siendo un recubrimiento de A —es decir, una subcolección de conjuntos de C que aún cubre a A—.
La definición de compacidad es entonces:
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Ejemplos
- El conjunto K = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ R con la topología heredada de la estándar de R es compacto. Dado un entorno de 0, este incluye a todos los 1/n salvo un número finito —puesto que la sucesión {1/n}n ∈ N converge a 0—. Por tanto, dado un recubrimiento abierto de K, tomando un abierto O que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/n no contenido en O, esta subcolección finita cubre a K.
- El intervalo abierto (0, 1) ⊆ R no es compacto (con la topología usual heredada de R). La familia { (0, 1 − 1/n) }n > 1 es un recubrimiento abierto del intervalo, pero dada cualquier subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/k) en ella que contiene a los demás —buscando aquel con k máximo—. Como 1 − 1/p no está en (0, 1 − 1/k) si p ≥ k, ninguna subfamilia finita cubre (0, 1).
Caracterizaciones equivalentes
La compacidad de un espacio admite varias formulaciones alternativas:
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Compacidad en espacios métricos
Un subconjunto A de un espacio métrico y, en particular, del espacio euclídeo es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: toda sucesión en A admite una subsucesión convergente.
Ejemplos
- El ejemplo de bandera y sencillo de subconjunto compacto de la recta euclídea es un intervalo cerrado [a,b] de la misma (Teorema de Heine-Borel).[1]
- Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del espacio euclídeo. Cualquier círculo en el plano euclídeo, por ejemplo particular.
- Todo espacio X cofinito es compacto.[2]
- Un ejemplo de espacio no compacto es la recta real, pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito. Además ninguna subfamilia finita del recubrimiento de abiertos {(-n, n): n es n. natural} recubre la recta real.
- Tampoco es compacto el conjunto de los números racionales. En efecto, una sucesión de racionales que converge a un irracional (al ser vista como sucesión en los reales) no tiene ninguna subsucesión convergente a un racional.
Teoremas asociados a la compacidad
Teorema de Heine-Borel
Por el teorema de Heine-Borel, un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Para subconjuntos del espacio euclídeo, basta con que este sea cerrado y acotado, que es una caracterización útil.
Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será precompacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad.
- También llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue.
Teorema de Arzelá-Ascoli
Véase también
Referencias
- Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0
- Ayala-Domínguez-Quintero: Ibídem, pág. 231
- Ivorra, Carlos, Análisis, consultado el 21 de mayo de 2011..
- Munkres, James (2001). Topología. Pearson Educación. ISBN 9788420531809.
- Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacios Métricos. incluyendo espacios compactos.