Espacio T₁

Axiomas de separación en espacios topológicos
T0
T1
T2
T2½
completamente T2
T3
T3½
T4
T5
T6

En topología un espacio T₁ o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Definición

Un espacio topológico ${\displaystyle E}$  es ${\displaystyle T_{1}}$  si para cada pareja de elementos distintos ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  de ${\displaystyle E}$  existe un abierto que contiene a ${\displaystyle x}$  y no a ${\displaystyle y}$ . Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a ${\displaystyle y}$  y no a ${\displaystyle x}$ , ya que también se cumple para la pareja ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle x}$ . Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  de ${\displaystyle E}$  existe un abierto que contiene a ${\displaystyle x}$  y no a ${\displaystyle y}$  y también existe un abierto que contiene a ${\displaystyle y}$  y no a ${\displaystyle x}$ 

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$ , sería un espacio de Hausdorff o ${\displaystyle T_{2}}$ ).

Propiedades

Sea ${\displaystyle X}$  un espacio topológico. Son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$  es un espacio ${\displaystyle T_{1}}$ .
• ${\displaystyle X}$  es un espacio ${\displaystyle T_{0}}$  y un espacio ${\displaystyle R_{0}}$ .
• Para cada ${\displaystyle x}$  de ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \{x\}}$  es cerrado.
• Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
• Todo subconjunto de ${\displaystyle X}$  es la intersección de sus entornos.
• Todo suconjunto finito de ${\displaystyle X}$  es cerrado.
• Todo subconjunto cofinito de ${\displaystyle X}$  es abierto.
• El ultrafiltro principal de ${\displaystyle x}$  converge solamente a ${\displaystyle x}$ .
• Para cada punto ${\displaystyle x}$  de ${\displaystyle X}$  y todo subcojunto ${\displaystyle S}$  de ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle x}$  es un punto límite de ${\displaystyle S}$  si y solo sí es un punto de acumulación de ${\displaystyle S}$ .

La propiedad de ser T₁ es hereditaria, es decir, los subespacios de un T₁ es también T₁.^[1]​

Nota y casos

• Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.^[2]​

• Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.^[3]​

• Sea ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$  con la topología formada por los subconjuntos de ${\displaystyle X}$  siguientes: ${\displaystyle \emptyset }$ , ${\displaystyle \{b\}}$ , ${\displaystyle \{a,b\}}$ , ${\displaystyle \{b,c\}}$ , ${\displaystyle X}$ . No es T₁ ya que ${\displaystyle \{b\}}$  no es cerrado.^[4]​

Teorema

Un espacio topológico es T₁ si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.^[3]​^[5]​

Ejemplos

• La topología cofinita sobre un conjunto infinito es T₁ pero no T₂.^[6]​
• El espacio topológico de Sierpinski es T₀ pero no es T₁.^[7]​

Referencias

1. Llopis, José L. «Propiedades topológicas hereditarias». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 10 de octubre de 2019. 
2. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0
3. Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis
4. Llopis, José L. «Ejemplos y propiedades de los espacios topológicos finitos». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 11 de octubre de 2019. 
5. Llopis, José L. «Espacio topológico de Fréchet T1». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 13 de octubre de 2019. 
6. Sapiña, R. «Topología cofinita». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 
7. Sapiña, R. «Espacio de Sierpinski». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 

Véase también

• Axiomas de separación
• Espacio de Kolmogórov (T₀)
• Espacio de Hausdorff (T₂)
• Espacio completamente de Hausdorff
• Espacio regular (T₃)
• Espacio de Tíjonov (T_3½)
• Espacio normal

Bibliografía

• Willard, Stephen (1998). General Topology. New York: Dover. pp. 86-90. ISBN 0-486-43479-6. 
• Folland, Gerald (1999). Real analysis: modern techniques and their applications (2nd edición). John Wiley & Sons, Inc. p. 116. ISBN 0-471-31716-0. 
• Llopis, José L. (2017). «Espacios de Fréchet». Matesfacil. ISSN 2659-8442. 

Enlaces externos

• Propiedades de los espacios de Fréchet

•   Datos: Q284347