Topología cofinita

En matemáticas, la topología de los complementos finitos o topología cofinita sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ es la topología dada por

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{cof}=\{A\subseteq X:X\setminus A{\text{ es finito ó }}A=\emptyset \}}$

Es decir, un subconjunto ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ es abierto si su complemento es un conjunto finito.

Propiedades

Algunas propiedades sobre la topología cofinita sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ :^[1]​

• Si ${\displaystyle X}$  es finito, la topología cofinita es la topología discreta. En este caso, un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$  es abierto si, y sólo si, es cerrado.
• La topología cofinita sobre ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$  es menos fina que la topología usual.
• Un subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X}$  es cerrado si, y sólo si, ${\displaystyle A=X}$ , ${\displaystyle A=\emptyset }$  ó ${\displaystyle A}$  es finito.
• Si ${\displaystyle x\in U\subseteq X}$ , entonces ${\displaystyle U}$  es un entorno de ${\displaystyle x}$  si, y sólo si, ${\displaystyle X\setminus U}$  es finito.
• Todo espacio ${\displaystyle X}$  con la topología cofinita es T₁ y, por tanto, T₀.
• Si ${\displaystyle X}$  es infinito, entonces no es de Hausdorff. Como consecuencia, tampoco es T₃.
• Todo espacio ${\displaystyle X}$  con la topología cofinita es compacto y, por tanto, también es de Lindelöf.

Véase también

• Topología de los complementos numerables
• Espacio de Hausdorff
• Topología usual

Bibliografía

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (Dover reimpresión de 1978 edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 

Referencias

1. Sapiña, R. «Topología cofinita». Problemas y Ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 13 de octubre de 2019. 

•   Datos: Q281212