En matemáticas, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial.
De manera precisa el teorema enuncia que si es una función continua en un intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto entonces existe un punto en tal que la recta tangente en el punto es paralela a la recta secante que pasa por los puntos y , esto es
Historia
Un caso especial de este teorema fue descrito por primera vez por Paramésuara (1370–1460), de la escuela de Kerala de astronomía y matemáticas en la India, en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhaskara II.[1] Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como teorema de Rolle, y se demostró sólo para polinomios, sin las técnicas de cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado y probado por Cauchy en 1823.[2]
Teorema
Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua en y derivable en el intervalo abierto entonces existe al menos algún punto c en el intervalo en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado .
Sea una función continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto con entonces existe al menos algún punto tal que
El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle, las hipótesis son que si una función es continua en y diferenciable en y toma valores iguales en los extremos del intervalo, esto es, entonces existe al menos algún punto tal que , esto es, el lado derecho de la expresión anterior es cero.
Demostración
Demostración 1
Primero se consideran dos puntos y pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:
Se define una función auxiliar:
Dado que es continua en y diferenciable en entonces también lo es. Además satisface las condiciones del Teorema de Rolle en ya que:
Por el Teorema de Rolle, como es diferenciable en y entonces existe un punto tal que y por tanto:
y así
que es lo que se quería demostrar.
Demostración 2
Sea la pendiente de la recta secante entre , se define la ecuación punto-pendiente:
o también,
De acuerdo al enunciado la función es derivable en , por lo que se puede escoger algún valor en dicho intervalo tal que existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):
o también,
Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2
La matriz del sistema es:
Y su determinante es:
Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = mab
Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:
o también,
Con ello queda demostrado el teorema del valor medio.
Teoremas del valor medio para integrales definidas
Primer teorema del valor medio para integrales definidas
Sea una función continua en el intervalo entonces existe un valor tal que[3]
Dado que el valor medio de en está definido como
por lo que podemos interpretar que alcanza su punto medio en algún .
En general, si es continua y es una función integrable que no cambia signo en entonces existe tal que
Demostración 1
Supóngase que es continua y que es una función integrable no negativa en , por el teorema del valor extremo existen y tal que para y , como es no negativa entonces
Sea
si entonces ya terminamos pues
esto es
por lo que para todo
Si entonces
por el teorema del valor intermedio, existe al menos un tal que
esto es
Finalmente, si es negativa en entonces
y seguiremos obteniendo el mismo resultado que antes.
Demostración 2
Aplicando la integración de Riemann
La suma aloja todos los dentro del intervalo , por lo que procederemos a escoger un fijo de dicho intervalo y que por ende hace que
Al reemplazar, la integral queda de la siguiente manera:
como es constante respecto a la suma entonces
Reemplazando
Simplificando
Como y no son afectados por el límite ya que son constantes entonces
Despejando
Por lo tanto, queda verificado la existencia de en donde la función evaluada en él, toma el valor de , es decir,
Y así, queda demostrado el teorema del valor medio para integrales.
Teorema del valor medio en varias variables
El teorema del valor medio se puede generalizar para funciones reales de argumento vectorial. Esto se puede hacer parametrizando a la función y usando el teorema del valor medio de una variable.
Sea un subconjunto abierto y convexo de y sea una función diferenciable. Sean y definamos . Como es una función diferenciable de una variable, el teorema del valor medio nos da:
para algún entre 0 y 1. Pero aparte tenemos y , calculando tenemos, explícitamente:
donde denota al gradiente y al producto interno. Esto es un análogo exacto del teorema del valor medio en una variable (en el caso éste es de hecho el teorema en una variable). Por la desigualdad de Cauchy–Schwarz, la ecuación nos da la estimación:
En particular, cuando las derivadas parciales de están acotadas, es Lipschitz continua (y por lo tanto uniformemente continua). Cabe mencionar que no requerimos que sea continuamente diferenciable o continua en la cerradura de . Sin embargo, para calcular usando la regla de la cadena, necesitamos que sea diferenciable en ; la existencia de las derivadas parciales con respecto a y no es por sí misma una condición suficiente para garantizar la validez del teorema.
Como una aplicación directa del teorema, podemos demostrar que es contante si es abierto, conexo y toda derivada parcial de es 0. Sea un punto arbitrario , y sea . Queremos demostrar que para todo . Sea ahora . EntoncesE es cerrado y no vacío.
para cada en alguna vecindad de . (En este paso es muy importante que y estén suficientemente cerca.) Como es conexo, concluimos que .
Los argumentos anteriores no dependen de nuestro sistema de coordenadas; por lo tanto se pueden generalizar en caso de que sea un subconjunto de un espacio de Banach.
Generalizaciones
No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones . En este caso, sólo es posible establecer la siguiente desigualdad en términos de la norma:
Demostración
Teniendo en cuenta que dada una función
se tiene que si
es el segmento formado por (siendo A conexo y abierto), es y entonces
de donde se tiene que como
es
para algún
Para ver [1] basta tener en cuenta que si
y se tiene que
Corolario
Sea la función h tal que
es continua sobre un intervalo finito o infinito ya que...
tiene derivada nula en cualquier punto de este intervalo, salvo un conjunto finito de puntos del intervalo
entonces esta función es constante sobre este intervalo.[4]
teorema, valor, medio, matemáticas, teorema, valor, medio, lagrange, teorema, incrementos, finitos, teorema, bonnet, lagrange, teoría, punto, medio, propiedad, funciones, derivables, intervalo, algunos, matemáticos, consideran, este, teorema, más, importante, . En matematicas el teorema de valor medio de Lagrange teorema de los incrementos finitos teorema de Bonnet Lagrange o teoria del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo Algunos matematicos consideran que este teorema es el mas importante del calculo vease tambien el teorema fundamental del calculo integral El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle ya que ambos son un caso especial De manera precisa el teorema enuncia que si f displaystyle f es una funcion continua en un intervalo cerrado a b displaystyle a b y diferenciable en el intervalo abierto a b displaystyle a b entonces existe un punto c displaystyle c en a b displaystyle a b tal que la recta tangente en el punto c displaystyle c es paralela a la recta secante que pasa por los puntos a f a displaystyle a f a y b f b displaystyle b f b esto esf c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a Indice 1 Historia 2 Teorema 3 Demostracion 3 1 Demostracion 1 3 2 Demostracion 2 4 Teoremas del valor medio para integrales definidas 4 1 Primer teorema del valor medio para integrales definidas 4 1 1 Demostracion 1 4 1 2 Demostracion 2 5 Teorema del valor medio en varias variables 6 Generalizaciones 6 1 Demostracion 7 Corolario 8 Vease tambien 9 Referencias 10 Enlaces externosHistoria EditarUn caso especial de este teorema fue descrito por primera vez por Paramesuara 1370 1460 de la escuela de Kerala de astronomia y matematicas en la India en sus comentarios sobre Govindasvami y Bhaskara II 1 Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691 el resultado fue lo que ahora se conoce como teorema de Rolle y se demostro solo para polinomios sin las tecnicas de calculo El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado y probado por Cauchy en 1823 2 Teorema Editar Para una funcion que cumpla la hipotesis de ser definida y continua en a b displaystyle a b y derivable en el intervalo abierto a b displaystyle a b entonces existe al menos algun punto c en el intervalo a b displaystyle a b en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado a b displaystyle a b Sea f a b R displaystyle f a b to mathbb R una funcion continua en el intervalo cerrado a b displaystyle a b y diferenciable en el intervalo abierto a b displaystyle a b con a lt b displaystyle a lt b entonces existe al menos algun punto c a b displaystyle c in a b tal que f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a El teorema del valor medio es una generalizacion del teorema de Rolle las hipotesis son que si una funcion f a b R displaystyle f a b to mathbb R es continua en a b displaystyle a b y diferenciable en a b displaystyle a b y toma valores iguales en los extremos del intervalo esto es f a f b displaystyle f a f b entonces existe al menos algun punto c a b displaystyle c in a b tal que f c 0 displaystyle f c 0 esto es el lado derecho de la expresion anterior es cero Demostracion EditarDemostracion 1 Editar Primero se consideran dos puntos a f a displaystyle a f a y b f b displaystyle b f b pertenecientes al grafico de la funcion La ecuacion de la recta que pasa por estos dos puntos es y f a f b f a b a x a displaystyle y f a frac f b f a b a x a Se define una funcion auxiliar g x f x y f x f a f b f a b a x a displaystyle begin aligned g x amp f x y amp f x left f a frac f b f a b a x a right end aligned Dado que f displaystyle f es continua en a b displaystyle a b y diferenciable en a b displaystyle a b entonces g displaystyle g tambien lo es Ademas g displaystyle g satisface las condiciones del Teorema de Rolle en a b displaystyle a b ya que g a f a f a f b f a b a a a 0 g b f b f a f b f a b a b a displaystyle g a f a f a frac f b f a b a a a 0 g b f b f a frac f b f a b a b a Por el Teorema de Rolle como g displaystyle g es diferenciable en a b displaystyle a b y g a g b displaystyle g a g b entonces existe un punto c a b displaystyle c in a b tal que g c 0 displaystyle g c 0 y por tanto 0 g c f c f b f a b a displaystyle 0 g c f c frac f b f a b a y asi f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a que es lo que se queria demostrar Demostracion 2 Editar Sea m a b displaystyle m ab la pendiente de la recta secante entre a b displaystyle a b se define la ecuacion punto pendiente y m a b x c 1 displaystyle y m ab x c 1 m a b f b f a b a displaystyle m ab frac f b f a b a o tambien m a b x y c 1 displaystyle m ab x y c 1 De acuerdo al enunciado la funcion es derivable en a b displaystyle a b por lo que se puede escoger algun valor x c displaystyle x c en dicho intervalo tal que f c displaystyle f c existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma punto pendiente y f c x c 2 displaystyle y f c x c 2 o tambien f c x y c 2 displaystyle f c x y c 2 Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2 m a b x y c 1 f c x y c 2 displaystyle left begin matrix m ab x y c 1 f c x y c 2 end matrix right La matriz del sistema es A m a b 1 f c 1 displaystyle mathbb A begin pmatrix m ab amp 1 f c amp 1 end pmatrix Y su determinante es det A f c m a b displaystyle det A f c m ab Para que el sistema no tenga solucion se debe cumplir det A 0 por lo tanto las rectas son paraleas en x c es decir f c mabEntonces existe al menos un punto que no da solucion al sistema y ademas la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b es decir f c m a b displaystyle f c m ab o tambien f c f b f a b a displaystyle f c frac f b f a b a Con ello queda demostrado el teorema del valor medio Teoremas del valor medio para integrales definidas EditarPrimer teorema del valor medio para integrales definidas Editar Sea f a b R displaystyle f a b to mathbb R una funcion continua en el intervalo a b displaystyle a b entonces existe un valor c a b displaystyle c in a b tal que 3 a b f x d x f c b a displaystyle int a b f x dx f c b a Dado que el valor medio de f displaystyle f en a b displaystyle a b esta definido como 1 b a a b f x d x displaystyle frac 1 b a int a b f x dx por lo que podemos interpretar que f displaystyle f alcanza su punto medio en algun c a b displaystyle c in a b En general si f a b R displaystyle f a b to mathbb R es continua y g displaystyle g es una funcion integrable que no cambia signo en a b displaystyle a b entonces existe c a b displaystyle c in a b tal que a b f x g x d x f c a b g x d x displaystyle int a b f x g x dx f c int a b g x dx Demostracion 1 Editar Supongase que f a b R displaystyle f a b to mathbb R es continua y que g displaystyle g es una funcion integrable no negativa en a b displaystyle a b por el teorema del valor extremo existen m displaystyle m y M displaystyle M tal que para x a b displaystyle x in a b m f x M displaystyle m leq f x leq M y f a b m M displaystyle f a b m M como g displaystyle g es no negativa entonces m a b g x d x a b f x g x d x M a b g x d x displaystyle m int a b g x dx leq int a b f x g x dx leq M int a b g x dx Sea I a b g x d x displaystyle I int a b g x dx si I 0 displaystyle I 0 entonces ya terminamos pues 0 a b f x g x d x 0 displaystyle 0 leq int a b f x g x dx leq 0 esto es a b f x g x d x 0 displaystyle int a b f x g x dx 0 por lo que para todo c a b displaystyle c in a b a b f x g x d x f c I 0 displaystyle int a b f x g x dx f c I 0 Si I 0 displaystyle I neq 0 entonces m 1 I a b f x g x d x M displaystyle m leq frac 1 I int a b f x g x dx leq M por el teorema del valor intermedio existe al menos un c a b displaystyle c in a b tal que f c 1 I a b f x g x d x displaystyle f c frac 1 I int a b f x g x dx esto es a b f x g x d x f c a b g x d x displaystyle int a b f x g x dx f c int a b g x dx Finalmente si g displaystyle g es negativa en a b displaystyle a b entonces M a b g x d x a b f x g x d x m a b g x d x displaystyle M int a b g x dx leq int a b f x g x dx leq m int a b g x dx y seguiremos obteniendo el mismo resultado que antes Demostracion 2 Editar Aplicando la integracion de Riemann a b f x d x lim n b a n i 1 n f x i displaystyle int a b f x dx lim n to infty frac b a n sum i 1 n f x i La suma aloja todos los x i displaystyle x i dentro del intervalo a b displaystyle a b por lo que procederemos a escoger un x i c displaystyle x i c fijo de dicho intervalo y que por ende hace que f x i f c displaystyle f x i f c Al reemplazar la integral queda de la siguiente manera a b f x d x lim n b a n i 1 n f c displaystyle int a b f x dx lim n to infty frac b a n sum i 1 n f c como f c displaystyle f c es constante respecto a la suma entonces i 1 n f c f c i 1 n 1 n f c displaystyle sum i 1 n f c f c sum i 1 n 1 nf c Reemplazando a b f x d x lim n b a n n f c displaystyle int a b f x dx lim n to infty frac b a n nf c Simplificando a b f x d x lim n b a f c displaystyle int a b f x dx lim n to infty b a f c Como b a displaystyle b a y f c displaystyle f c no son afectados por el limite ya que son constantes entonces a b f x d x b a f c displaystyle int a b f x dx b a f c Despejando f c displaystyle f c f c 1 b a a b f x d x displaystyle f c frac 1 b a int a b f x dx Por lo tanto queda verificado la existencia de c a b displaystyle c in a b en donde la funcion evaluada en el toma el valor de 1 b a a b f x textstyle frac 1 b a int a b f x es decir c a b f c 1 b a a b f x d x displaystyle exists c in a b quad f c frac 1 b a int a b f x dx Y asi queda demostrado el teorema del valor medio para integrales Teorema del valor medio en varias variables EditarEl teorema del valor medio se puede generalizar para funciones reales de argumento vectorial Esto se puede hacer parametrizando a la funcion y usando el teorema del valor medio de una variable Sea G displaystyle G un subconjunto abierto y convexo de R n displaystyle mathbb R n y sea f G R displaystyle f G to mathbb R una funcion diferenciable Sean x y G displaystyle x y in G y definamos g t f 1 t x t y displaystyle g t f Big 1 t x ty Big Como g displaystyle g es una funcion diferenciable de una variable el teorema del valor medio nos da g 1 g 0 g c displaystyle g 1 g 0 g c para algun c displaystyle c entre 0 y 1 Pero aparte tenemos g 1 f y displaystyle g 1 f y y g 0 f x displaystyle g 0 f x calculando g c displaystyle g c tenemos explicitamente f y f x f 1 c x c y y x displaystyle f y f x nabla f Big 1 c x cy Big cdot y x donde displaystyle nabla denota al gradiente y displaystyle cdot al producto interno Esto es un analogo exacto del teorema del valor medio en una variable en el caso n 1 displaystyle n 1 este es de hecho el teorema en una variable Por la desigualdad de Cauchy Schwarz la ecuacion nos da la estimacion f y f x f 1 c x c y y x displaystyle Bigg f y f x Bigg leq Bigg nabla f Big 1 c x cy Big Bigg Big y x Big En particular cuando las derivadas parciales de f displaystyle f estan acotadas f displaystyle f es Lipschitz continua y por lo tanto uniformemente continua Cabe mencionar que no requerimos que f displaystyle f sea continuamente diferenciable o continua en la cerradura de G displaystyle G Sin embargo para calcular g displaystyle g usando la regla de la cadena necesitamos que f displaystyle f sea diferenciable en G displaystyle G la existencia de las derivadas parciales con respecto a x displaystyle x y y displaystyle y no es por si misma una condicion suficiente para garantizar la validez del teorema Como una aplicacion directa del teorema podemos demostrar que f displaystyle f es contante si G displaystyle G es abierto conexo y toda derivada parcial de f displaystyle f es 0 Sea un punto arbitrario x 0 G displaystyle x 0 in G y sea g x f x f x 0 displaystyle g x f x f x 0 Queremos demostrar que g x 0 displaystyle g x 0 para todo x G displaystyle x in G Sea ahora E x G g x 0 displaystyle E x in G g x 0 EntoncesE es cerrado y no vacio g y g y g x 0 y x 0 displaystyle Big g y Big Bigg g y g x Bigg leq 0 Big y x Big 0 para cada y displaystyle y en alguna vecindad de x displaystyle x En este paso es muy importante que x displaystyle x y y displaystyle y esten suficientemente cerca Como G displaystyle G es conexo concluimos que E G displaystyle E G Los argumentos anteriores no dependen de nuestro sistema de coordenadas por lo tanto se pueden generalizar en caso de que G displaystyle G sea un subconjunto de un espacio de Banach Generalizaciones EditarNo existe un analogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones f A R n displaystyle mathbf f A longrightarrow mathbb R n En este caso solo es posible establecer la siguiente desigualdad en terminos de la norma f b f a D f c b a D f c b a displaystyle mathbf f mathbf b mathbf f mathbf a leq left D mathbf f mathbf c right mathbf b mathbf a leq D mathbf f mathbf c mathbf b mathbf a Demostracion Editar Teniendo en cuenta que dada una funcion f A R n R m displaystyle mathbf f A subset mathbb R n longrightarrow mathbb R m 0 1 f t d t 0 1 f t d t displaystyle int 0 1 f t dt leq int 0 1 f t dt se tiene que si I x y displaystyle I x y es el segmento formado por x y A displaystyle x y in A siendo A conexo y abierto es I x y A displaystyle I x y subset A y entonces f y f x 0 1 d f x 1 t t y y x d t 0 1 d f x 1 t t y y x d t displaystyle f y f x int 0 1 df x 1 t ty y x dt leq int 0 1 df x 1 t ty y x dt de donde se tiene que como d f x 1 t t y y x d f x 1 t t y y x displaystyle df x 1 t ty y x leq df x 1 t ty y x t 0 1 displaystyle forall t in 0 1 es f y f x d f c y x displaystyle f y f x leq df c y x para algun c I x y displaystyle c in I x y Para ver 1 basta tener en cuenta que si L 0 1 f t d t textstyle L int 0 1 f t dt L 2 0 1 f t d t 2 lt L 0 1 f t d t gt 0 1 lt L f t gt d t 0 1 L f t d t L 0 1 f t d t displaystyle L 2 int 0 1 f t dt 2 lt L int 0 1 f t dt gt int 0 1 lt L f t gt dt leq int 0 1 L f t dt L int 0 1 f t dt y se tiene que 0 1 f t d t 0 1 f t d t displaystyle int 0 1 f t dt leq int 0 1 f t dt Corolario EditarSea la funcion h tal que es continua sobre un intervalo finito o infinito ya que tiene derivada nula en cualquier punto de este intervalo salvo un conjunto finito de puntos del intervaloentonces esta funcion es constante sobre este intervalo 4 Vease tambien EditarTeorema de Rolle Teorema del valor medio de CauchyReferencias Editar J J O Connor and E F Robertson 2000 Paramesvara MacTutor History of Mathematics archive A Besenyei Historical development of the mean value theorem http abesenyei web elte hu publications meanvalue pdf Ver Introduccion al calculo y al analisis matematico Vol I R Courant amp J Fritz Ed Limusa p 163 L D Kudriatsev Curso de analisis matematico 1 Editorial Mir Moscu 1983 traducido del ruso por V Fernandez Bombal Marin amp Vera Problemas de Analisis matematico Calculo Diferencial 1988 ed AC ISBN 84 7288 101 6 Enlaces externos EditarPlanetMath Mean Value Theorem Weisstein Eric W Teorema del valore medio En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q189136 Multimedia Mean value theorem Q189136 Obtenido de https es wikipedia org w index php title 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