Sea K un conjunto finito de puntos (o más generalmente un conjunto compacto cualquiera)
y sea
el diámetro de K, es decir, la distancia más grande posible entre puntos del conjunto. Entonces se tiene que existe una (n-1)-esfera de radio:
que contiene a K. La igualdad se da siempre para el caso de un n-simplex regular.
Teorema de Jung en el plano
Triángulo equilátero mostrando la relación entre el diámetro del triángulo, que coincide con el lado, y el radio de la circunferencia circunscrita.
El caso más común de aplicación del teorema es el plano euclídeo (n = 2), donde cualquier conjunto finito de puntos puede ser contenido en un círculo de radio dado por:
El resultado anterior es el más ajustado posible, por ejemplo para un triángulo equilátero cuyos tres vértices están sobre una circunferencia
La primera desigualdad es una consecuencia de la desigualdad triangular aplicada al centro de una bola y dos puntos diametralmente opuestos. La segunda se sigue de que una bola de radio d centrada en cualquier punto de S debe contener todo el conjunto por la definición de diámetro de un conjunto arbitrario. En un espacio métrico uniforme, es decir un espacio métrico en el que todas las distancias son iguales se satura esta segunda desigualdad r = d. La otra desigualdad se alcanza en un espacio métrico inyectivo como el plano dotado de la "distancia de Manhattan", donde se tiene r = d/2.
Referencias
Bibliografía
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teorema, jung, geometría, teorema, jung, desigualdad, matemática, entre, diámetro, conjunto, puntos, contenidos, espacio, euclídeo, radio, mínimo, esfera, contiene, conjunto, teorema, publicado, heinrich, jung, 1901, Índice, enunciado, plano, espacios, métrica. En geometria el teorema de Jung es una desigualdad matematica entre el diametro de un conjunto de puntos contenidos en un espacio euclideo y el radio de la minimo n esfera que contiene al conjunto El teorema fue publicado por Heinrich Jung en 1901 Indice 1 Enunciado 2 Teorema de Jung en el plano 3 Espacios metricas generales 4 Referencias 4 1 Bibliografia 4 2 Enlaces externosEnunciado EditarSea K un conjunto finito de puntos o mas generalmente un conjunto compacto cualquiera K R n displaystyle scriptstyle K subset mathbb R n y sea d max p q K p q 2 displaystyle d max nolimits p q in K p q 2 el diametro de K es decir la distancia mas grande posible entre puntos del conjunto Entonces se tiene que existe una n 1 esfera de radio r d n 2 n 1 displaystyle r leq d sqrt frac n 2 n 1 que contiene a K La igualdad se da siempre para el caso de un n simplex regular Teorema de Jung en el plano Editar Triangulo equilatero mostrando la relacion entre el diametro del triangulo que coincide con el lado y el radio de la circunferencia circunscrita El caso mas comun de aplicacion del teorema es el plano euclideo n 2 donde cualquier conjunto finito de puntos puede ser contenido en un circulo de radio dado por r d 3 displaystyle r leq frac d sqrt 3 El resultado anterior es el mas ajustado posible por ejemplo para un triangulo equilatero cuyos tres vertices estan sobre una circunferencia r d 3 displaystyle r frac d sqrt 3 Espacios metricas generales EditarPara un conjunto acotado S contenido en un espacio metrico se tiene d 2 r d displaystyle frac d 2 leq r leq d La primera desigualdad es una consecuencia de la desigualdad triangular aplicada al centro de una bola y dos puntos diametralmente opuestos La segunda se sigue de que una bola de radio d centrada en cualquier punto de S debe contener todo el conjunto por la definicion de diametro de un conjunto arbitrario En un espacio metrico uniforme es decir un espacio metrico en el que todas las distancias son iguales se satura esta segunda desigualdad r d La otra desigualdad se alcanza en un espacio metrico inyectivo como el plano dotado de la distancia de Manhattan donde se tiene r d 2 Referencias EditarBibliografia Editar Katz M 1985 Jung s theorem in complex projective geometry Quarterly Journal of Mathematics Oxford 36 4 451 466 ISSN 1464 3847 Dekster B V 1995 The Jung theorem for the spherical and hyperbolic spaces Acta Math Sci Hungar 67 4 315 331 doi 10 1007 BF01874495 Dekster B V 1997 The Jung theorem in metric spaces of curvature bounded above Proceedings of the American Mathematical Society 125 8 2425 2433 doi 10 1090 S0002 9939 97 03842 2 Jung Heinrich 1901 Uber die kleinste Kugel die eine raumliche Figur einschliesst J Reine Angew Math in German formato requiere url ayuda 123 241 257 Jung Heinrich 1910 Uber den kleinsten Kreis der eine ebene Figur einschliesst J Reine Angew Math in German formato requiere url ayuda 137 310 313 Rademacher Hans Toeplitz Otto 1990 The Enjoyment of Mathematics Dover chapter 16 ISBN 978 0 486 26242 0 Enlaces externos Editar Weisstein Eric W Jung s Theorem En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q1075398Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Jung amp oldid 117265387, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
