Desigualdad triangular

La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría euclidiana que establece:

Desigualdad del triángulo.

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. ^[1]​

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

${\displaystyle a<(b+c),\qquad b<(a+c),\qquad c<(a+b)}$

donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado ${\displaystyle V,\forall x,y\in V,\ \ \left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}$

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b se cumple: ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$

cuya demostración es:

Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

${\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|}$ 

${\displaystyle -|b|\leq b\leq |b|}$ 

Sumando ambas inecuaciones:

${\displaystyle -(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|}$ 

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto ${\displaystyle |a|\leq b}$  si y solo si ${\displaystyle -b\leq a\leq b}$  en la línea de arriba queda:

${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ 

Generalización de la desigualdad triangular

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

${\displaystyle |x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|}$ ,

es decir:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.}$ 

donde n es un número natural, y los ${\displaystyle x_{i}}$  son números reales.

Demostración

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática. Como casos iniciales observamos que para n=1: ${\displaystyle |x_{1}|\leq |x_{1}|}$  puesto que el símbolo ${\displaystyle \leq }$  es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica ${\displaystyle |x_{1}+x_{2}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|}$  Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.}$  Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1. Partimos de la siguiente expresión: ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|=\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|}$  y observando que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}}$  es un número real y ${\displaystyle x_{k+1}}$  es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos: ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|+|x_{k+1}|}$  Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.}$  la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.}$  Sin embargo, esta última expresión es precisamente ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.}$  de manera que hemos demostrado ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.}$  y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Esta desigualdad puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

${\displaystyle \left|\int _{A}f(x){\text{d}}\mu (x)\right|\leq \int _{A}|f(x)|{\text{d}}\mu (x)}$ 

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$ 

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$ 

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Notas

1. Weisstein, Eric W. «Triangle Inequality.» (en inglés). Consultado el 2 de enero de 2015. 

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

•   Datos: Q208216