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Teorema π de Vaschy-Buckingham

El teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades pertenecientes a las magnitudes fundamentales, longitud, masa, tiempo, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales.

Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida, aunque la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no proporciona información sobre cuáles son más adecuados. Por lo tanto, hay una ambivalencia en cuáles son estos nuevos parámetros Π.

Además de la construcción de los parámetros adimensionales, este teorema afirma que cualquier ley física es independiente del sistema de unidades en las que se exprese.

Historia

Aunque nombrado por Edgar Buckingham, el teorema Π fue demostrado por primera vez por el matemático francés J. Bertrand[1]​ en 1878. Bertrand consideró solo casos especiales de problemas de electrodinámica y conducción de calor, pero su artículo contiene en términos claros todas las ideas básicas de la moderna prueba del teorema y una indicación de su utilidad para el modelado de fenómenos físicos. La técnica de usar el teorema ("el método de las dimensiones") llegó a ser ampliamente conocida debido a las obras de Rayleigh (la primera aplicación del teorema Π en el caso general[2]​ a la dependencia de la caída de presión en una tubería regida por parámetros probablemente se remonta a 1892,[3]​ y una prueba heurística con el uso de expansión de la serie, a 1894[4]​).

La generalización formal del teorema Π para el caso de muchas cantidades arbitrarias fue probado por primera vez por A. Vaschy en 1892,[5]​ y luego en 1911 —al parecer de forma independiente— tanto por A. Federman[6]​ y D. Riabouchinsky,[7]​ y de nuevo en 1914 por Buckingham.[8]​ Fue el artículo de Buckingham el que introdujo el uso del símbolo "Πi" para las variables adimensionales (o parámetros), y es la causa del nombre del teorema.

Introducción

Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función f tal que:

(a) 

en donde Ai  son las n  variables o magnitudes físicas relevantes, y se expresan en términos de k  unidades físicas fundamentales, de número máximo tres: longitud, masa, tiempo. Entonces la anterior ecuación se puede reescribir como:

 

en donde   son los parámetros adimensionales construidos de nk  ecuaciones de la forma:

 

en donde los exponentes mi  son números enteros. El número de términos adimensionales construidos n - k es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde k es el rango de la matriz.

La notación de πi como parámetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en 1892.

Ejemplo

Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o fuerza aerodinámica Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geométrica, en función de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad η del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberían explicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se tiene relación matemática del tipo:[9]

(2) 

Puesto que tenemos 5 variables relevantes  . Estas cinco variables no son dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en términos de masa, tiempo y longitud que:

 

en este caso se tiene por tanto   ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen   combinaciones adimensionales tales que la relación (2) se puede reducir a la forma:

(3a) 

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como "básicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos adimensionales. En este caso se toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra elección). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales:

(4) 

La condición de adimensionalidad para   lleva a que por ejemplo:

(5) 

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

(6) 

Análogamente para el parámetro  , se llega a que:   y por tanto la relación buscada es:

(3b) 

Si se asumen cierta condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior, podrá usarse el teorema de la función implícita para escribir las relaciones:

(7a) 

Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común para la resistencia aerodinámica:

(7b) 

Donde,   y   es una función del número de Reynolds que precisamente es proporcional al parámetro  . Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los factores de proporcionalidad requeridos, ni la forma funcional exacta de algunas partes de la fórmula, pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partir de la cual tenemos que buscar los datos.

Uso práctico

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

  1. Contar el número de variables dimensionales n.
  2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) k
  3. Determinar el número de grupos adimensionales. Número de  .
  4. Hacer que cada número   dependa de n - k variables fijas y que cada uno dependa además de una de las k variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido, una geométrica y otra cinemática).
  5. El número   que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.
  6. El modelo debe tener sus números adimensionales iguales a los del prototipo para asegurar similitud.
  7. Se determina la dependencia del número adimensional requerido experimentalmente.

Referencia

  • Vaschy, A.: "Sur les lois de similitude en physique". Annales Télégraphiques 19, 25-28 (1892)
  • Buckingham, E.: On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review 4, 345-376 (1914).

Notas

  1. Bertrand, J. (1878). «Sur l'homogénéité dans les formules de physique». Comptes rendus 86 (15): 916-920. 
  2. Cuando al aplicar el teorema pi surge una función arbitraria de números adimensionales.
  3. Rayleigh (1892). «On the question of the stability of the flow of liquids». Philosophical magazine 34: 59-70. doi:10.1080/14786449208620167. 
  4. Segunda edición de «The Theory of Sound» (Strutt, John William (1896). The Theory of Sound 2. Macmillan. ).
  5. Citas del artículo de Vaschy con su declaración del teorema Πse pueden encontrar en: Macagno, E. O. (1971). «Historico-critical review of dimensional analysis». Journal of the Franklin Institute 292 (6): 391-402. doi:10.1016/0016-0032(71)90160-8. 
  6. Федерман, А. (1911). «О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка». Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики 16 (1): 97-155.  (Federman A., On some general methods of integration of first-order partial differential equations, Proceedings of the Saint-Petersburg polytechnic institute. Section of technics, natural science, and mathematics)
  7. Riabouchinsky, D. (1911). «Мéthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique». L'Aérophile: 407-408. 
  8. Texto original del artículo de Buckingham en Physical Review
  9. Experimentalmente se ha probado que esas variables determinan la resistencia aerodinámica, ver (7)

Enlaces externos

  • Generalización del teorema Π de Buckingham
  •   Datos: Q999783

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El teorema P pi de Vaschy Buckingham es el teorema fundamental del analisis dimensional El teorema establece que dada una relacion fisica expresable mediante una ecuacion en la que estan involucradas n magnitudes fisicas o variables y si dichas variables se expresan en terminos de k cantidades pertenecientes a las magnitudes fundamentales longitud masa tiempo entonces la ecuacion original puede escribirse equivalentemente como una ecuacion con una serie de n k numeros adimensionales construidos con las variables originales Este teorema proporciona un metodo de construccion de parametros adimensionales incluso cuando la forma de la ecuacion es desconocida aunque la eleccion de parametros adimensionales no es unica y el teorema no proporciona informacion sobre cuales son mas adecuados Por lo tanto hay una ambivalencia en cuales son estos nuevos parametros P Ademas de la construccion de los parametros adimensionales este teorema afirma que cualquier ley fisica es independiente del sistema de unidades en las que se exprese Indice 1 Historia 2 Introduccion 3 Ejemplo 4 Uso practico 5 Referencia 5 1 Notas 5 2 Enlaces externosHistoria EditarAunque nombrado por Edgar Buckingham el teorema P fue demostrado por primera vez por el matematico frances J Bertrand 1 en 1878 Bertrand considero solo casos especiales de problemas de electrodinamica y conduccion de calor pero su articulo contiene en terminos claros todas las ideas basicas de la moderna prueba del teorema y una indicacion de su utilidad para el modelado de fenomenos fisicos La tecnica de usar el teorema el metodo de las dimensiones llego a ser ampliamente conocida debido a las obras de Rayleigh la primera aplicacion del teorema P en el caso general 2 a la dependencia de la caida de presion en una tuberia regida por parametros probablemente se remonta a 1892 3 y una prueba heuristica con el uso de expansion de la serie a 1894 4 La generalizacion formal del teorema P para el caso de muchas cantidades arbitrarias fue probado por primera vez por A Vaschy en 1892 5 y luego en 1911 al parecer de forma independiente tanto por A Federman 6 y D Riabouchinsky 7 y de nuevo en 1914 por Buckingham 8 Fue el articulo de Buckingham el que introdujo el uso del simbolo Pi para las variables adimensionales o parametros y es la causa del nombre del teorema Introduccion EditarSi tenemos una ecuacion fisica que refleja la relacion existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una funcion f tal que a f A 1 A 2 A n 0 displaystyle f A 1 A 2 ldots A n 0 en donde Ai son las n variables o magnitudes fisicas relevantes y se expresan en terminos de k unidades fisicas fundamentales de numero maximo tres longitud masa tiempo Entonces la anterior ecuacion se puede reescribir como f P 1 P 2 P n k 0 displaystyle tilde f Pi 1 Pi 2 ldots Pi n k 0 en donde P i displaystyle scriptstyle Pi i son los parametros adimensionales construidos de n k ecuaciones de la forma P i A 1 m 1 A 2 m 2 A n m n displaystyle Pi i A 1 m 1 A 2 m 2 cdots A n m n en donde los exponentes mi son numeros enteros El numero de terminos adimensionales construidos n k es igual a la nulidad de la matriz dimensional en donde k es el rango de la matriz La notacion de pi como parametros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su articulo de 1914 de ahi el nombre del teorema No obstante la autoria del mismo debe adscribirse a Aime Vaschy quien lo enuncio en 1892 Ejemplo EditarImaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinamica o fuerza aerodinamica Fa sobre un cuerpo por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geometrica en funcion de su tamano o dimension caracteristica d la densidad del fluido r la viscosidad h del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido Dado que parece que esas variables deberian explicar por si mismas la resistencia aerodinamica se tiene relacion matematica del tipo 9 2 f F a r h v d 0 displaystyle f F a rho eta v d 0 Puesto que tenemos 5 variables relevantes n 5 displaystyle scriptstyle n 5 Estas cinco variables no son dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en terminos de masa tiempo y longitud que F a MLT 2 r ML 3 h ML 1 T 1 v LT 1 d L displaystyle begin cases F a mbox MLT 2 rho mbox ML 3 eta mbox ML 1 mbox T 1 v mbox LT 1 d mbox L end cases en este caso se tiene por tanto k 3 displaystyle scriptstyle k 3 ya que todas las magnitudes son reducibles a solo 3 magnitudes dimensionales independientes Esto implica que existen n k 2 displaystyle scriptstyle n k 2 combinaciones adimensionales tales que la relacion 2 se puede reducir a la forma 3a f P 1 P 2 0 displaystyle tilde f Pi 1 Pi 2 0 Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como basicas y se forman junto con las otras dos consideradas dependientes productos adimensionales En este caso se toman como basicas por ejemplo r v y d aunque podria haberse hecho otra eleccion Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean adimensionales 4 P 1 r a v b d c F a P 2 r a v b d c h displaystyle begin cases Pi 1 rho a v b d c F a Pi 2 rho bar a v bar b d bar c eta end cases La condicion de adimensionalidad para P 1 displaystyle scriptstyle Pi 1 lleva a que por ejemplo 5 M 0 L 0 T 0 ML 3 a LT 1 b L c MLT 2 1 M a 1 L 3 a b c 1 T b 2 displaystyle mbox M 0 mbox L 0 mbox T 0 mbox ML 3 a mbox LT 1 b mbox L c mbox MLT 2 1 mbox M a 1 mbox L 3a b c 1 mbox T b 2 Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros 6 a 1 0 3 a b c 1 0 b 2 0 a 1 b 2 c 2 displaystyle begin cases a 1 0 3a b c 1 0 b 2 0 end cases qquad Rightarrow qquad begin cases a 1 b 2 c 2 end cases Analogamente para el parametro P 2 displaystyle scriptstyle Pi 2 se llega a que a 1 b 1 c 1 displaystyle scriptstyle bar a 1 bar b 1 bar c 1 y por tanto la relacion buscada es 3b f F a r v 2 d 2 h r v d 0 displaystyle tilde f left frac F a rho v 2 d 2 frac eta rho vd right 0 Si se asumen cierta condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la funcion anterior podra usarse el teorema de la funcion implicita para escribir las relaciones 7a f P 1 P 2 0 P 1 F P 2 F a r v 2 d 2 F h r v d F a r v 2 d 2 F h r v d displaystyle tilde f Pi 1 Pi 2 0 Rightarrow Pi 1 Phi Pi 2 Rightarrow frac F a rho v 2 d 2 Phi left frac eta rho vd right Rightarrow F a rho v 2 d 2 Phi left frac eta rho vd right Esta ultima ecuacion dice es consistente con la expresion comun para la resistencia aerodinamica 7b F a 1 2 C a r v 2 S e f displaystyle F a frac 1 2 C a rho v 2 S ef Donde S e f d 2 displaystyle scriptstyle S ef varpropto d 2 y C a F R e displaystyle scriptstyle C a Phi Re es una funcion del numero de Reynolds que precisamente es proporcional al parametro P 2 1 displaystyle scriptstyle Pi 2 1 Obviamente el teorema no es capaz de darnos todos los factores de proporcionalidad requeridos ni la forma funcional exacta de algunas partes de la formula pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partir de la cual tenemos que buscar los datos Uso practico EditarPara reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parametros se siguen los siguientes pasos generales Contar el numero de variables dimensionales n Contar el numero de unidades basicas longitud tiempo masa temperatura etc kDeterminar el numero de grupos adimensionales Numero de r n k displaystyle r n k Hacer que cada numero P i displaystyle Pi i dependa de n k variables fijas y que cada uno dependa ademas de una de las k variables restantes se recomienda que las variables fijas sean una del fluido una geometrica y otra cinematica El numero P displaystyle Pi que contenga la variable que se desea determinar se pone como funcion de los demas numeros adimensionales El modelo debe tener sus numeros adimensionales iguales a los del prototipo para asegurar similitud Se determina la dependencia del numero adimensional requerido experimentalmente Referencia EditarVaschy A Sur les lois de similitude en physique Annales Telegraphiques 19 25 28 1892 Buckingham E On physically similar systems Illustrations of the use of dimensional equations Physical Review 4 345 376 1914 Notas Editar Bertrand J 1878 Sur l homogeneite dans les formules de physique Comptes rendus 86 15 916 920 Cuando al aplicar el teorema pi surge una funcion arbitraria de numeros adimensionales Rayleigh 1892 On the question of the stability of the flow of liquids Philosophical magazine 34 59 70 doi 10 1080 14786449208620167 Segunda edicion de The Theory of Sound Strutt John William 1896 The Theory of Sound 2 Macmillan Citas del articulo de Vaschy con su declaracion del teorema Pse pueden encontrar en Macagno E O 1971 Historico critical review of dimensional analysis Journal of the Franklin Institute 292 6 391 402 doi 10 1016 0016 0032 71 90160 8 Federman A 1911 O nekotoryh obshih metodah integrirovaniya uravnenij s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka Izvestiya Sankt Peterburgskogo politehnicheskogo instituta imperatora Petra Velikogo Otdel tehniki estestvoznaniya i matematiki 16 1 97 155 Federman A On some general methods of integration of first order partial differential equations Proceedings of the Saint Petersburg polytechnic institute Section of technics natural science and mathematics Riabouchinsky D 1911 Methode des variables de dimension zero et son application en aerodynamique L Aerophile 407 408 Texto original del articulo de Buckingham en Physical Review Experimentalmente se ha probado que esas variables determinan la resistencia aerodinamica ver 7 Enlaces externos Editar Generalizacion del teorema P de Buckingham Datos Q999783Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema p de Vaschy Buckingham amp oldid 134611900, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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