K-teoría

La teoría K o K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.

Fotografía de Michael Atiyah (izquierda) y Friedrich Hirzebruch (derecha)

Definiciones

Sea X un espacio topológico compacto y Vect(X,C,n) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados complejos de rango n sobre X, este conjunto tiene la estructura de un monoide abeliano con la suma de Whitney de fibrados vectoriales. Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales. Las sumas directas para cada ${\displaystyle n\geq 0}$  dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales

${\displaystyle Vect(X,\mathbb {C} )=\oplus _{n\geq 0}Vect(X,\mathbb {C} ,n),\qquad Vect(X,\mathbb {R} )=\oplus _{n\geq 0}Vect(X,\mathbb {R} ,n).}$ 

La teoría K compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la teoría K real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide. Los elementos de la teoría K son fibrados virtuales.

La teoría K real se llama también ortogonal. El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.

El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo. Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo. Si ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$  es una aplicación continua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos

${\displaystyle f^{*}:K(Y)\longrightarrow K(X),\qquad f^{*}:KO(Y)\longrightarrow KO(X).}$ 

Se puede comprobar que dos aplicaciones ${\displaystyle f\simeq g:X\longrightarrow Y}$  homotópicas inducen el mismo morfismo ${\displaystyle f^{*}=g^{*}}$ . Estas propiedades se pueden sintetizar diciendo que las asignaciones

${\displaystyle X\longmapsto K(X),\qquad X\longmapsto KO(X)}$ 

definen functores contravariantes de la categoría de espacios topológicas con morfismos clases de homotopía de aplicaciones a la categoría de anillos y morfismos de anillos.

Teoría K reducida

La teoría-K compleja y real de un punto X=pt. es isomorfa a los enteros Z, el isomorfismo dado por el rango. Dado un punto ${\displaystyle x\in X}$  se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como

${\displaystyle {\widetilde {K}}(X):=\ker\{K(X)\longrightarrow \mathbb {Z} \}}$ 

Nótese que la teoría-K reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial. Además, se tiene

${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde {K}}(X)\times \mathbb {Z} }$ 

Ejemplos

En ${\displaystyle KO(\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n})}$  el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación

${\displaystyle [T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}]+[\varepsilon ]=(n+1)[\gamma _{1}^{*}]}$ 

con ${\displaystyle \gamma _{1}}$  denota el fibrado tautológico y ${\displaystyle [\varepsilon ]}$  denota la clase del fibrado trivial de rango 1. En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo

${\displaystyle T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\cong Hom(\gamma _{1},\gamma _{1}^{\perp })}$ 

La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que ${\displaystyle Hom(\gamma _{1},\gamma _{1})}$  tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial:

${\displaystyle T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}\oplus \varepsilon \cong Hom(\gamma _{1},\gamma _{1}^{\perp })\oplus Hom(\gamma _{1},\gamma _{1})\cong Hom(\gamma _{1},\gamma _{1}\oplus \gamma _{1}^{\perp })\cong Hom(\gamma _{1},\varepsilon ^{n+1})\cong \oplus ^{n+1}\gamma _{1}^{*}}$ 

Análogamente en ${\displaystyle K(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})}$  se tiene

${\displaystyle [T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}]+[\varepsilon ]=(n+1)[\gamma _{1}^{*}]}$ 

Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de ${\displaystyle {\widetilde {K}}(S^{2})\cong \mathbb {Z} }$ .

Estabilidad

Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que

${\displaystyle E\oplus \varepsilon ^{n}\cong F\oplus \varepsilon ^{m}}$ 

Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos. Por ejemplo, ${\displaystyle T\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$  y ${\displaystyle \oplus ^{n+1}\gamma _{1}^{*}}$  son establemente isomorfos, no estrictamente.

Entonces el resultado que da sentido geométrico a la teoría-K es el siguiente

Teorema: Existe un isomorfismo de grupos entre el grupo de clases de isomorfismos estables de fibrados sobre X y la K-teoría reducida de X.

El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante. De forma precisa, dado un fibrado ${\displaystyle E\in Vect(X,\mathbb {C} ,n)}$  existe un fibrado E' tal que

${\displaystyle E\oplus E'\cong \varepsilon ^{s}\in \mathbb {N} }$ 

para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial. El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango. La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.

Esferas

En esta sección estudiamos la teoría-K reducida de una esfera ${\displaystyle S^{k}}$ . Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspensión de una esfera de dimensión inferior, ${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$ , y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas ${\displaystyle \Omega }$  obtenemos las siguientes biyecciones

${\displaystyle Vect(S^{k},\mathbb {C} ,n)\cong [\Sigma S^{k-1},BGl(\mathbb {C} ,n)]\cong [S^{k-1},\Omega BGl(\mathbb {C} ,n)]\cong [S^{k-1},Gl(\mathbb {C} ,n)]}$ 

El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C,n), como este grupo retrae a U(n) concluimos

${\displaystyle Vect(S^{k},\mathbb {C} ,n)\longleftrightarrow \pi _{k-1}(U(n))}$ 

Para entender la teoría-K es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos:

Teorema: ${\displaystyle {\widetilde {K}}(S^{k})\cong \pi _{k-1}(\cup _{n}U(n))}$ .

Los grupos estables de homotopía se deducen directamente del teorema de periodicidad de Bott. En particular, ${\displaystyle {\widetilde {K}}(S^{2})\cong \pi _{1}(\cup _{n}U(n))\cong \mathbb {Z} .}$ 

Para la teoría-K no reducida el caso de la 2-esfera es el primer caso relevante y permite el cálculo de la teoría-K de ciertas suspensiones iteradas de un espacio.

Teorema: ${\displaystyle K(S^{2})}$  es un anillo generado por el fibrado de línea canónico ${\displaystyle \gamma _{1}}$  sobre ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbb {C} \mathbb {P} ^{1}}$  con la relación ${\displaystyle ([\gamma _{1}]-[\varepsilon ])^{2}=0}$ .

La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que ${\displaystyle TS^{2}\cong \gamma _{1}^{2}}$ .

Referencias

• Atiyah, Michael Francis (1989), K-theory, Advanced Book Classics (2nd edición), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-09394-0, MR 1043170 .
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005), Handbook of K-Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30436-4, MR 2182598 . (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Swan, R. G. (1968), Algebraic K-Theory, Lecture Notes in Mathematics No. 76, Springer .
• Max Karoubi, (1978) Springer-Verlag
• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory, (2003)

Enlaces externos

• Archivo de artículos en K-teoría

•   Datos: Q15615154