Tabla de senos de Āryabhaṭa

El Āryabhaṭīya, un tratado astronómico compuesto por el matemático y astrónomo indio del siglo V Aryabhata (476-550), contiene una lista de valores relacionados con el cálculo de las semicuerdas de cierto conjunto de arcos de un círculo. No es una tabla en el sentido moderno de una tabla matemática, es decir, no es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas.^[1]​^[2]​

Arco, cuerda y semicuerda del ángulo 2A en una circunferencia. La semicuerda de 2A coincide con el seno de A

La tabla de Āryabhaṭa tampoco es un conjunto de valores de la función trigonométrica seno en un sentido convencional; es una tabla de las primeras diferencias de los valores de los senos trigonométricos expresados en minutos de arco, y debido a esto, la tabla también se conoce como la tabla de diferencias senoidales de Āryabhaṭa.^[3]​^[4]​

Fue la primera tabla de senos jamás construida en la historia de las matemáticas.^[5]​ Las tablas ahora perdidas de Hiparco (c.190-c.120 a.C.) y Menelao (c.70-140); y las de Ptolomeo (c. 90-c.168) eran todas tablas de cuerdas y no de medias cuerdas, equiparables al seno de un arco dado. La tabla de Āryabhaṭa permaneció como la tabla de senos de referencia en la antigua India, realizándose a lo largo de casi más de mil años numerosos intentos para superar su precisión. Estos esfuerzos culminaron finalmente con el descubrimiento de las expansiones en series de potencias (las series de Madhava) de las funciones seno y coseno, realizado por Madhava de Sangamagrama (c.1350 - c.1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala; y con el cálculo consiguiente de la tabla de senos de Madhava, con valores precisos de siete u ocho decimales.

Algunos historiadores de las matemáticas han argumentado que la tabla de senos que figura en el Āryabhaṭiya fue una adaptación de tablas anteriores construidas por matemáticos y astrónomos de la antigua Grecia.^[6]​ David Pingree, uno de los principales historiadores de las ciencias exactas en la antigüedad, fue un exponente de tal punto de vista. Suponiendo esta hipótesis, G. J. Toomer^[7]​^[8]​^[9]​ escribió: "Casi no existe documentación para determinar la llegada más temprana de los modelos astronómicos griegos a la India, o para el caso, cómo se habrían visto esos modelos. Por lo tanto, es muy difícil determinar en qué medida lo que nos ha llegado representa el conocimiento transmitido y lo que es original de los científicos indios ... La verdad es probablemente una mezcla enredada de ambos". ^[10]​

La tabla

La tabla original

El párrafo del Āryabhaṭiya que describe la tabla del seno se reproduce a continuación:

 मखि भखि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व |
 घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कला-अर्ध-ज्यास् ||

En notación moderna

Los valores codificados en el verso sánscrito de Āryabhaṭa se pueden decodificar utilizando el esquema numérico explicado en el Āryabhaṭīya, y los números decodificados se enumeran en la tabla que figura a continuación. En la tabla, las medidas de ángulo relevantes para la tabla seno de Āryabhaṭa se enumeran en la segunda columna. La tercera columna contiene la lista de los números contenidos en el verso sánscrito dado anteriormente en la escritura Devanagari. Para comodidad de los usuarios que no pueden leer Devanagari, estas palabras numerales se reproducen en la cuarta columna, con la transliteración ISO 15919. La siguiente columna contiene estos números en el sistema arábigo. Los números de Āryabhaṭa son las primeras diferencias de los valores de los senos. El valor correspondiente del seno (o más precisamente, de jya) puede obtenerse sumando las diferencias hasta esa diferencia. Así, el valor de jya correspondiente a 18° 45 ′ es la suma 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Para evaluar la precisión de los cálculos de Āryabhaṭa, los valores modernos de jya se dan en la última columna de la tabla.

En la tradición matemática india, el seno (o jya) de un ángulo no es una relación de números. Es la longitud de un cierto segmento de línea, una cierta semicuerda. El radio del círculo base es un parámetro básico para la construcción de tales tablas. Históricamente, se han construido varias tablas utilizando diferentes valores para este parámetro. Abryabhaṭa eligió el número 3438 como el valor del radio del círculo base para el cálculo de su tabla senoidal. La razón de la elección de este parámetro es la idea de medir la circunferencia de un círculo en medidas de ángulo. En los cálculos astronómicos, las distancias se miden en grados, minutos, segundos, etc. En esta medida, la circunferencia de un círculo es 360° = (60 × 360) minutos = 21600 minutos. El radio del círculo, cuya medida es de 21600 minutos, es de 21600/2π minutos. Calculando este cociente usando el valor de π = 3.1416 conocido por Aryabhata, se obtiene el radio del círculo como 3438 minutos aproximadamente. La tabla de senos de Āryabhaṭa se basa en este valor para el radio del círculo base. Todavía no se ha establecido quién fue el primero en usar este valor del radio base, pero el Aryabhatiya es el texto más antiguo conocido que contiene una referencia a esta constante básica.^[11]​

Sl. No	Ángulo (A) (en grados, minutos de arco)	Valor en la notación numérica de Āryabhaṭa (en Devanagari)	Valor en la notación numérica de Āryabhaṭa (en la transliteración ISO 15919)	Valor en números arábigos	Valor de jya (A) según Āryabhaṭa	Valor moderno de jya (A) (3438 × seno (A))
1	03°   45′	मखि	makhi	225	225′	224.8560
2	07°   30′	भखि	bhakhi	224	449′	448.7490
3	11°   15′	फखि	phakhi	222	671′	670.7205
4	15°   00′	धखि	dhakhi	219	890′	889.8199
5	18°   45′	णखि	ṇakhi	215	1105′	1105.1089
6	22°   30′	ञखि	ñakhi	210	1315′	1315.6656
7	26°   15′	ङखि	ṅakhi	205	1520′	1520.5885
8	30°   00′	हस्झ	hasjha	199	1719′	1719.0000
9	33°   45′	स्ककि	skaki	191	1910′	1910.0505
10	37°   30′	किष्ग	kiṣga	183	2093′	2092.9218
11	41°   15′	श्घकि	śghaki	174	2267′	2266.8309
12	45°   00′	किघ्व	kighva	164	2431′	2431.0331
13	48°   45′	घ्लकि	ghlaki	154	2585′	2584.8253
14	52°   30′	किग्र	kigra	143	2728′	2727.5488
15	56°   15′	हक्य	hakya	131	2859′	2858.5925
16	60°   00′	धकि	dhaki	119	2978′	2977.3953
17	63°   45′	किच	kica	106	3084′	3083.4485
18	67°   30′	स्ग	sga	93	3177′	3176.2978
19	71°   15′	झश	jhaśa	79	3256′	3255.5458
20	75°   00′	ङ्व	ṅva	65	3321′	3320.8530
21	78°   45′	क्ल	kla	51	3372′	3371.9398
22	82°   30′	प्त	pta	37	3409′	3408.5874
23	86°   15′	फ	pha	22	3431′	3430.6390
24	90°   00′	छ	cha	7	3438′	3438.0000

Método de cálculo de Āryabhaṭa

La segunda sección de Āryabhaṭiya titulada Ganitapādd a contiene una estrofa que indica un método para el cálculo de la tabla sinusoidal. Hay varias ambigüedades en la interpretación correcta del significado de este versículo. Por ejemplo, la siguiente es una traducción del verso dado por Katz en donde las palabras entre corchetes son inserciones del traductor y no traducciones del texto del verso. ^[11]​

• "Cuando la segunda media [cuerda] particionada es menor que la primera media cuerda, que es [aproximadamente igual al] arco [correspondiente], en cierta cantidad, las [diferencias del seno] restantes son menores [que las anteriores] cada una por esa cantidad de esto dividido por la primera media cuerda".

Esto puede referirse al hecho de que la segunda derivada de la función seno es igual al negativo de la función seno.

Véase también

• Tabla de senos de Madhava
• Fórmula de aproximación sinusoidal de Bhaskara I

Referencias

1. Selin, Helaine, ed. (2008). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2 edición). Springer. pp. 986–988. ISBN 978-1-4020-4425-0. 
2. Eugene Clark (1930). Theastronomy. Chicago: The University of Chicago Press. 
3. Takao Hayashi, T (November 1997). «Āryabhaṭa's rule and table for sine-differences». Historia Mathematica 24 (4): 396-406. doi:10.1006/hmat.1997.2160. 
4. B. L. van der Waerden, B. L. (March 1988). «Reconstruction of a Greek table of chords». Archive for History of Exact Sciences 38 (1): 23-38. doi:10.1007/BF00329978. 
5. J J O'Connor and E F Robertson (June 1996). «The trigonometric functions». Consultado el 4 de marzo de 2010. 
6. . Archivado desde el original el 3 de julio de 2011. Consultado el 6 de marzo de 2010. 
7. G. J. Toomer, G. J. (July 2007). «The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry». Centaurus 18 (1): 6-28. doi:10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x. 
8. B.N. Narahari Achar (2002). «Āryabhata and the table of Rsines». Indian Journal of History of Science 37 (2): 95-99. Consultado el 6 de marzo de 2010. 
9. Glen Van Brummelen (March 2000). . Historia Mathematica mailing List Archive. Archivado desde el original el 15 de junio de 2010. Consultado el 6 de marzo de 2010. 
10. Glen Van Brummelen. The mathematics of the heavens and the earth: the early 0. 
11. Victor J Katz (Editor) (2007). The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: a sourcebook. Princeton: Princeton University Press. pp. 405-408. ISBN 978-0-691-11485-9. 

•   Datos: Q8079604