Relación antisimétrica

Una relación binaria ${\displaystyle R}$ sobre un conjunto ${\displaystyle A}$ es antisimétrica^[1]​^[2]​^[3]​ cuando se da que si dos elementos de ${\displaystyle A}$ se relacionan entre sí mediante ${\displaystyle R}$, entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b}$

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que ${\displaystyle R}$ cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación ${\displaystyle R}$ sobre un conjunto ${\displaystyle A}$, se representa con el par ordenado ${\displaystyle (A,R)}$.

Representación

Sea ${\displaystyle R}$  una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto ${\displaystyle A}$ , entonces ${\displaystyle R}$  tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

• Como pares ordenados, ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ (a,b)\in R\land (b,a)\in R\;\Rightarrow \;a=b}$ .
• Como matriz de adyacencia ${\displaystyle M}$ , la matriz ${\displaystyle M+M^{t}\,}$  no tiene ningún 2 salvo, a lo sumo, en la diagonal.
• Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

Ejemplos

Sea ${\displaystyle A}$  un conjunto cualquiera:

• Sea ${\displaystyle (A,\geq )}$ , ${\displaystyle \geq }$  ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que ${\displaystyle >\,}$  ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• Sea ${\displaystyle (A,\leq )}$ , ${\displaystyle \leq }$  ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que ${\displaystyle <\,}$  ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

Antisimetría ${\displaystyle \neq }$ asimetría

 

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Véase también

Propiedades de la relación binaria homogénea:

Relación reflexiva Relación irreflexiva

Relación simétrica Relación antisimétrica

Relación transitiva Relación intransitiva

Relación total

Relación bien fundada Acotado

Referencias

1. Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 66. ISBN 978-607-438-925-8. 
2. Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 119. ISBN 978-970-260-637-6. 
3. L. E. Sigler (1981). «1». Álgebra (Luis Bou Garía, trad.). Editorial Reverte. p. 12. ISBN 978-842-915-129-9. 

•   Datos: Q583760