Relación de orden

Una relación de orden o más conocida como "Orden en R" es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que ayuda a la creación del orden del mismo.

Definición

Sea ${\displaystyle A}$  un conjunto dado no vacío y ${\displaystyle R}$  una relación binaria definida en ${\displaystyle A}$ , entonces se dice que ${\displaystyle R}$  es una relación de orden^[1]​

1. Reflexiva: Todo elemento de ${\displaystyle A}$  está relacionado consigo mismo. Es decir, ${\displaystyle \forall x\in A,\;xRx}$ .
2. Antisimétrica: Si dos elementos de ${\displaystyle A}$  se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, ${\displaystyle \forall x,y\in A,\;xRy,\;yRx\;\Rightarrow \;x=y}$ 
3. Transitiva: Si un elemento de ${\displaystyle A}$  está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, ${\displaystyle \forall x,y,z\in A,\;xRy,yRz\Rightarrow xRz}$ 

Una relación de orden ${\displaystyle R}$  sobre un conjunto ${\displaystyle A}$  puede denotarse con el par ordenado ${\displaystyle (A,R)}$ .

Relación de orden amplio

En el caso de que R sea reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo la inclusión en el conjunto potencia de A. Además dos subconjuntos cualesquiera no se pueden comparar mediante la inclusión.^[2]​ La inclusión no es una relación de orden total.

Relación de orden total

Sea ${\displaystyle A}$  un conjunto dado, ${\displaystyle \leq }$  es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de ${\displaystyle A}$  se relacionan entre sí, es decir,

${\displaystyle \forall x,y\in A,(x\leq y)\vee (y\leq x)}$ .

• Ejemplo ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$  es totalmente ordenado. En efecto, es:
  • Reflexivo: ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,}$  entonces ${\displaystyle n\leq n}$  (porque por definición, ${\displaystyle n=n\,}$ )
  • Antisimétrico: ${\displaystyle \forall n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} ,}$  si ${\displaystyle \;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;}$  y ${\displaystyle \;\;n_{2}\leq n_{1},\;\;}$  entonces ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}\leq n_{1}}$  ${\displaystyle \Rightarrow n_{1}=n_{2}}$ 
  • Transitivo: ${\displaystyle \forall n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} ,}$  si ${\displaystyle \;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;}$  y ${\displaystyle \;\;n_{2}\leq n_{3},\;\;}$  entonces ${\displaystyle n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}\Rightarrow n_{1}\leq n_{3}}$ 
  • Orden total, pues

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.^[3]​

Contraejemplo, (ℤ₊, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, " a divide b"; pues

5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ₊, 12 ≠ 5h.^[4]​

Relación de orden parcial

Sea ${\displaystyle A}$  un conjunto dado, ${\displaystyle \leq }$  es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de ${\displaystyle A}$  se relacionan entre sí, es decir,

${\displaystyle \exists x,y\in A,}$  tal que ${\displaystyle (x\leq y)\vee (y\leq x)}$ .

• Ejemplo. Sea el conjunto ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$  y el conjunto potencia de ${\displaystyle X}$ , definido por:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}$ 

Entonces ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$  es parcialmente ordenado, pues sean

${\displaystyle A=\{1\},B=\{1,2\},C=\{3\}\in {\mathcal {P}}(X),}$ 

${\displaystyle A\subseteq B,}$  pero ${\displaystyle (A\nsubseteq C)\wedge (C\nsubseteq A).}$ 

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ${\displaystyle \leq }$  sobre un conjunto ${\displaystyle X}$  se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, ${\displaystyle \forall x,y\in X}$  tales que ${\displaystyle x<y(x\leq y\wedge x\neq y)}$ , existe otro ${\displaystyle z\in X}$  tal que ${\displaystyle x<z<y}$ .

• Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si ${\displaystyle q_{1}<q_{2}}$ , entonces tenemos que ${\displaystyle q_{3}:={\frac {q_{1}+q_{2}}{2}}}$  satisface que: ${\displaystyle q_{1}<q_{3}<q_{2}}$ 
• Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$  existen los enteros ${\displaystyle k}$  y ${\displaystyle k+1}$ , tal que ${\displaystyle k\geq t<k+1}$ .^[5]​

Véase también

• Teoría del orden
• Desigualdad matemática
• Igualdad matemática

Esquema de temas relacionados

Teoría del orden Bien ordenado Orden total Parcialmente ordenado Preordenado Relación reflexiva Relación transitiva Relación antisimétrica Relación total Relación bien fundada

Referencias

1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
2. Rojas: Álgebra I
3. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
4. Rojas, Op. cit
5. Esta propiedad permite definir la función máximo entero

Bibliografía

• Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 

• Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés) (2nd. edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. 

• Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 

• Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 

• Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1. 

•   Datos: Q3751055