Conjunto denso

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espacio topológico, ${\displaystyle A\subset X}$ se dice que es un conjunto denso en ${\displaystyle X\;}$ si y solamente si ${\displaystyle {\bar {A}}=X\;}$, es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para ${\displaystyle A}$ son todas equivalentes:

1. ${\displaystyle A}$ es denso en ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle A\subset B,B}$ cerrado ${\displaystyle \Rightarrow B=X}$
3. ${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing }$

Otras proposiciones

• Si dos aplicaciones continuas de X en Y, siendo Y un espacio de Hausdorff, coinciden en un conjunto denso; entonces coinciden en todo el espacio X.

• D₁ y D₂ son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:

${\displaystyle D_{1}=\mathbb {Q} \;\;y\;\;D_{2}=\mathbb {R} -\mathbb {Q} }$ 

• Sean D₁ , D₂ subconjuntos densos de X , además D₁ o D₂ es abierto, entonces D₁∩D₂ es denso^[1]​

Ejemplos

• Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  e ${\displaystyle \mathbb {I} }$  son subconjuntos densos en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Los polinomios son densos en el conjunto ${\displaystyle C[a,b]}$  de las funciones continuas definidas en ${\displaystyle [a,b]}$ , dotado de la topología asociada a la distancia ${\displaystyle d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}$ .

Espacio separable

Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$  contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  y ${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} )}$  (el espacio de las funciones continuas que van de ${\displaystyle [0,1]}$  a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ).

Referencias

1. Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de la topología general ISBN 84-78-29-006-0

Véase también

• Conjunto denso en ninguna parte
• Espacio separable

•   Datos: Q673444
•   Multimedia: Density of the set