Relación de Einstein (teoría cinética)

En física (específicamente en teoría cinética), la relación de Einstein (también conocida como relación de Einstein-Smoluchowski) determina la constante de difusión de una partícula en el estudio del movimiento browniano, mediante la siguiente ecuación:^[1]​

${\displaystyle D=\mu k_{b}T}$

Donde D, es la constante de difusión; μ, la movilidad de la partícula, es decir el cociente de la velocidad terminal y la fuerza aplicada; k_b, la constante de Boltzmann y T, la temperatura absoluta del fluido. Otros dos casos significativos de esta relación son:

1. ${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}k_{b}T}{q}},}$^[2]​
2. ${\displaystyle D={\frac {k_{b}T}{6\pi \eta r}},}$^[1]​

donde la constante está relacionada, en la primera ecuación, con la carga eléctrica de la partícula (q) y la movilidad eléctrica (μ_q). En la segunda ecuación, la constante depende inversamente de la viscosidad (η) del fluido y del radio circular de la partícula (r).

Casos especiales

Ecuación de movilidad eléctrica

Una partícula con una carga eléctrica determinada q, tiene una movilidad eléctrica μ_q relacionada con su movilidad general μ y dada por la ecuación μ = μ_q/q. El parámetro μ_q está determinado por la relación entre la velocidad de deriva final de la partícula en un campo magnético determinado. Así pues, la ecuación de movilidad eléctrica es:^[2]​

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}k_{b}T}{q}}}$ 

Ecuación de Stokes-Einstein

En el límite de bajo número de Reynolds, la movilidad μ es el inverso de un coeficiente de arrastre ζ. Este aparece dado por una constante de amortiguación γ =ζ/m, que es frecuentemente usada para el tiempo de relajación dinámica (Tiempo mínimo necesario para que el momento de inercia sea insignificante, si se le compara con un momento cualquiera) del objeto en difusión. Entonces, para partículas esféricas con un radio r, la Ley de Stokes es:

${\displaystyle \zeta =6\pi \eta r}$ 

Donde η es la viscosidad del medio. De esta manera, la relación de Einstein-Smoluchowski resulta en la relación de Stokes-Einstein dada por la ecuación:^[1]​

${\displaystyle D={\frac {k_{b}T}{6\pi \eta r}}}$ 

Si el caso es de difusión rotacional, la fricción del medio resulta: ζ=8πηr³ y por extensión la constante de difusión está dada por la siguiente variación:

${\displaystyle D_{r}={\frac {k_{b}T}{8\pi \eta r^{3}}}}$ 

Semiconductor

Para el caso de un semiconductor con densidad de estados arbitraria, la relación de Einstein resulta:^[3]​^[4]​

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}p}{q(dp/d\eta )}}}$ 

Donde η es el potencial químico de la partícula y p, la concentración de partículas.

Referencias

1. Bromberg, K. A. (2003). Garland Science, ed. Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology. p. 327. ISBN 0815320515. 
2. B. Van Zeghbroeck (2007). «Principles of Semiconductor Devices». Consultado el 16 de febrero de 2014. 
3. Ashcroft,N. W. y Mermin, N. D. (1988). Solid State Physics (en inglés). Nueva York (EUA): Holt, Rineheart and Winston. p. 826. 
4. Bonnaud, Olivier (2006). Composants à semiconducteurs (en francés). París (Francia): Ellipses. p. 78. 

•   Datos: Q900855