Recta de Simson en relación a un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita. Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson (1687-1768) aunque los historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a William Wallace, en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace-Simson.[1]
La recta de Simson para el punto P pasa por los puntos XYZ.
Teorema de Wallace-Simson
Un triángulo pedal.
En general, si se trazan perpendiculares desde un punto cualquiera del plano (exterior o interior al triángulo), los pies de dichas perpendiculares no son colineales sino que forman un triángulo denominado triángulo pedal. La colinealidad de los tres pies de las perpendiculares es característica de los puntos de la circunferencia circunscrita:
(Teorema de Wallace-Simson) Si desde un punto P se trazan perpendiculares a los lados de un triángulo o a sus prolongaciones, los respectivos pies de las perpendiculares serán colineales si y sólo si el punto P pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo.
Es decir, no sólo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales, sino que estos puntos son los únicos que poseen dicha propiedad.
Demostración
Diagrama para la demostración.
Primero se demostrará que los puntos en la circunferencia tienen la propiedad de que los pies de las perpendiculares trazados desde ahí son colineales.
De acuerdo con el diagrama, sean ABC los lados del triángulo, X, Y, Z los pies de las perpendiculares respectivos sobre los lados CA, AB, BC y supongamos P en el arco AC de la circunferencia circunscrita. La idea central de la prueba será demostrar que los ángulos CYX y AYZ son iguales y por tanto que XY y YZ forman una misma línea recta.
Dado que los ángulos PXC y PYC son rectos, el cuadrilátero PYXC es un cuadrilátero cíclico y por tanto los ángulos CYX y CPX son iguales.
Además, los ángulos PYA y PZA son rectos, el cuadrilátero PYAZ también es cíclico y por tanto los ángulos AYZ y APZ son iguales.
Por otro lado, al ser los ángulos PXB y PZB rectos, el cuadrilátero PXBZ también es cíclico. Por tanto, los ángulos ABX y XPZ suman 180°.
Finalmente, por construcción el cuadrilátero PABC es cíclico y por tanto los ángulos ABC y CPA suman 180°.
De las dos últimas observaciones, dado que los ángulos ABX y ABC son iguales, se sigue que los ángulos XPZ y CPA son iguales. Restando a ambos el valor del ángulo XPA resulta:
y por tanto
.
Así, siendo los ángulos CYX y AYZ son iguales y comparten AC como un lado, deben ser opuestos por el vértice y por tanto XYZ es una línea recta. Las distintas configuraciones que aparecen dependiendo de la posición relativa de P respecto a la posición de A, B, C se pueden reducir a la prueba anterior renombrando los puntos involucrados.
Ahora, la segunda parte de la prueba corresponde a demostrar que si un punto es tal que los pies de las perpendiculares que se trazan desde él son colineales, entonces el punto está sobre la circunferencia.
Etiquetando los vértices del triángulo de modo que el punto se encuentre en el interior del ángulo ABC y el diagrama de las perpendiculares corresponda a la figura anterior, podemos repetir todos los pasos en orden inverso para concluir que PABC necesariamente es un cuadrilátero cíclico y por tanto que P está en la circunferencia circunscrita de ABC. Esto es posible porque los dos resultados usados son equivalencias lógicas:
Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si sus ángulos opuestos suman 180°.
Un cuadrilátero es cíclico si y sólo si los ángulos que abren un mismo lado son iguales.
Propiedades
La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide.
La línea de Simson de un vértice del triángulo es la altura del triángulo trazada desde ese mismo vértice.
La línea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vértice es el lado formado por los otros dos vértices.
El ángulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P, Q es exactamente igual a la mitad del ángulo central del arco PQ.
La línea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH, donde H representa el ortocentro del triángulo. Además, dicho punto de intersección está sobre la circunferencia de los nueve puntos.
La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide denominado deltoide de Steiner.
Bibliografía
A.I. Fetísov. Acerca de la demostración en geometría, Editorial Mir Moscú (1980).[2]
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría. Serie «La tortuga de Aquiles», No.1, otoño 1993. Proyecto Euler. Traducción al español de Geometry Revisited, editado por la Mathematical Association of America.
Da una demostración de la proposición sobre una circunferencia circunscrita a un triángulo y la colinealidad de los pies de perpendiculares trazadas de un punto circunferencal a los tres lados del triángulo.
Datos:Q937921
Multimedia:Simson line
Noviembre 03, 2021
recta, simson, relación, triángulo, cualquier, recta, pies, perpendiculares, lados, triángulo, trazadas, desde, punto, circunferencia, circunscrita, estas, rectas, reciben, nombre, honor, robert, simson, 1687, 1768, aunque, historiadores, matemáticas, encontra. Recta de Simson en relacion a un triangulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares a los lados del triangulo trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson 1687 1768 aunque los historiadores de matematicas no han encontrado evidencia de su autoria Dado que la primera publicacion conocida en la que aparecen estas rectas fechada en 1797 y perteneciente a William Wallace en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace Simson 1 La recta de Simson para el punto P pasa por los puntos XYZ Indice 1 Teorema de Wallace Simson 2 Propiedades 3 Bibliografia 4 Vease tambien 5 ReferenciasTeorema de Wallace Simson Editar Un triangulo pedal En general si se trazan perpendiculares desde un punto cualquiera del plano exterior o interior al triangulo los pies de dichas perpendiculares no son colineales sino que forman un triangulo denominado triangulo pedal La colinealidad de los tres pies de las perpendiculares es caracteristica de los puntos de la circunferencia circunscrita Teorema de Wallace Simson Si desde un punto P se trazan perpendiculares a los lados de un triangulo o a sus prolongaciones los respectivos pies de las perpendiculares seran colineales si y solo si el punto P pertenece a la circunferencia circunscrita del triangulo Es decir no solo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales sino que estos puntos son los unicos que poseen dicha propiedad Demostracion Diagrama para la demostracion Primero se demostrara que los puntos en la circunferencia tienen la propiedad de que los pies de las perpendiculares trazados desde ahi son colineales De acuerdo con el diagrama sean ABC los lados del triangulo X Y Z los pies de las perpendiculares respectivos sobre los lados CA AB BC y supongamos P en el arco AC de la circunferencia circunscrita La idea central de la prueba sera demostrar que los angulos CYX y AYZ son iguales y por tanto que XY y YZ forman una misma linea recta Dado que los angulos PXC y PYC son rectos el cuadrilatero PYXC es un cuadrilatero ciclico y por tanto los angulos CYX y CPX son iguales Ademas los angulos PYA y PZA son rectos el cuadrilatero PYAZ tambien es ciclico y por tanto los angulos AYZ y APZ son iguales Por otro lado al ser los angulos PXB y PZB rectos el cuadrilatero PXBZ tambien es ciclico Por tanto los angulos ABX y XPZ suman 180 Finalmente por construccion el cuadrilatero PABC es ciclico y por tanto los angulos ABC y CPA suman 180 De las dos ultimas observaciones dado que los angulos ABX y ABC son iguales se sigue que los angulos XPZ y CPA son iguales Restando a ambos el valor del angulo XPA resulta C P X C P A X P A X P Z C P A A P Z displaystyle angle CPX angle CPA angle XPA angle XPZ angle CPA angle APZ y por tanto C Y X C P X A P Z A Y Z displaystyle angle CYX angle CPX angle APZ angle AYZ Asi siendo los angulos CYX y AYZ son iguales y comparten AC como un lado deben ser opuestos por el vertice y por tanto XYZ es una linea recta Las distintas configuraciones que aparecen dependiendo de la posicion relativa de P respecto a la posicion de A B C se pueden reducir a la prueba anterior renombrando los puntos involucrados Ahora la segunda parte de la prueba corresponde a demostrar que si un punto es tal que los pies de las perpendiculares que se trazan desde el son colineales entonces el punto esta sobre la circunferencia Etiquetando los vertices del triangulo de modo que el punto se encuentre en el interior del angulo ABC y el diagrama de las perpendiculares corresponda a la figura anterior podemos repetir todos los pasos en orden inverso para concluir que PABC necesariamente es un cuadrilatero ciclico y por tanto que P esta en la circunferencia circunscrita de ABC Esto es posible porque los dos resultados usados son equivalencias logicas Un cuadrilatero es ciclico si y solo si sus angulos opuestos suman 180 Un cuadrilatero es ciclico si y solo si los angulos que abren un mismo lado son iguales Propiedades Editar La envolvente de todas las lineas de Simson es un deltoide La linea de Simson de un vertice del triangulo es la altura del triangulo trazada desde ese mismo vertice La linea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vertice es el lado formado por los otros dos vertices El angulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P Q es exactamente igual a la mitad del angulo central del arco PQ La linea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH donde H representa el ortocentro del triangulo Ademas dicho punto de interseccion esta sobre la circunferencia de los nueve puntos La envolvente de todas las lineas de Simson es un deltoide denominado deltoide de Steiner Bibliografia EditarA I Fetisov Acerca de la demostracion en geometria Editorial Mir Moscu 1980 2 Vease tambien EditarCuadrilatero ciclico Triangulo pedalReferencias Editar H S M Coxeter S L Greitzer Retorno a la Geometria Serie La tortuga de Aquiles No 1 otono 1993 Proyecto Euler Traduccion al espanol de Geometry Revisited editado por la Mathematical Association of America Da una demostracion de la proposicion sobre una circunferencia circunscrita a un triangulo y la colinealidad de los pies de perpendiculares trazadas de un punto circunferencal a los tres lados del triangulo Datos Q937921 Multimedia Simson line Obtenido de https es wikipedia org w index php title Recta de Simson amp oldid 138102906, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
