Radical de un ideal

En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo ${\displaystyle R}$ es el ideal por la izquierda ${\displaystyle N}$ que es la intersección de todos los ideales por la izquierda maximales de ${\displaystyle R}$. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal

Sea ${\displaystyle R}$  un anillo conmutativo y sea ${\displaystyle I}$  un ideal del anillo. El conjunto ${\displaystyle {\sqrt {I}}={\text{rad }}I:=\{r\in R|\exists n\in \mathbb {N} ,r^{n}\in I\}}$  se denomina radical del ideal ${\displaystyle I}$  (o sencillamente radical de ${\displaystyle I}$ ).

Si ${\displaystyle a\in {\hbox{rad }}I}$  es que existe un entero ${\displaystyle n\geq 0}$  tal que ${\displaystyle a^{n}\in I}$ . Así, si ${\displaystyle r\in R}$  es ${\displaystyle (ar)^{n}=a^{n}r^{n}\in I}$ .

Si además ${\displaystyle b\in {\hbox{rad }}I}$  existirá otro entero ${\displaystyle m\geq 0}$  de manera que ${\displaystyle b^{m}\in I}$ .

Por el Teorema del binomio:

${\displaystyle (a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}}$ 

• Si ${\displaystyle i<n}$  entonces es ${\displaystyle n+m-n=m<n+m-i}$ , luego el exponente de ${\displaystyle b}$  es mayor o igual que ${\displaystyle m}$ , y así ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=a^{i}(b^{m})b^{n+m-i-m}\in I}$ .

• Si ${\displaystyle i\geq n}$  entonces es ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=(a^{n})a^{i-n}b^{n+m-i}\in I}$  ya que ${\displaystyle a^{n}\in I}$ .

En cualquier caso, cada sumando de ${\displaystyle (a+b)^{n+m}}$  está en ${\displaystyle I}$ , que es un ideal de ${\displaystyle R}$ , luego ${\displaystyle (a+b)^{n+m}\in I}$  y será ${\displaystyle a+b\in {\hbox{rad }}I}$ .

Así ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$  es un ideal de ${\displaystyle R}$ .

Un ideal ${\displaystyle I}$  de un anillo conmutativo y unitario ${\displaystyle R}$  se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si ${\displaystyle {\hbox{rad }}I=I}$ . Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si ${\displaystyle P}$  es un ideal primo, entonces ${\displaystyle R/P}$  es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos ${\displaystyle \pi :R\longrightarrow R/I}$  la proyección canónica de ${\displaystyle R}$  sobre ${\displaystyle I}$ , entonces ${\displaystyle {\hbox{rad }}I=\pi ^{-1}(N(R/I))}$  (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$  es un ideal de ${\displaystyle R}$ ; aquí, ${\displaystyle N(R)}$  es el nilradical de ${\displaystyle R}$ , definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si ${\displaystyle r\in \pi ^{-1}(N(R/I))}$ , entonces para algún ${\displaystyle n\geq 0}$ , ${\displaystyle \pi (r)^{n}=\pi (r^{n})}$  es cero en ${\displaystyle R/I}$ , y por tanto ${\displaystyle r^{n}}$  está en ${\displaystyle I}$ . Recíprocamente, si ${\displaystyle r^{n}}$  está en ${\displaystyle I}$  para algún ${\displaystyle n\geq 0}$  será ${\displaystyle r^{n}\in I}$ , entonces ${\displaystyle (\pi (r))^{n}=\pi (r^{n})}$ es cero en ${\displaystyle R/I}$ , y por tanto ${\displaystyle \pi (r)}$  está en ${\displaystyle N(R/I)}$ .

Mediante el uso de la localización, podemos ver que ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$  es la intersección de todos los ideales primos de ${\displaystyle R}$  que contienen a ${\displaystyle I}$ : cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a ${\displaystyle I}$  contienen a ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$ . Si ${\displaystyle r}$  es un elemento de ${\displaystyle R}$  que no está en ${\displaystyle {\hbox{rad }}I}$ , entonces sea ${\displaystyle S}$  el conjunto ${\displaystyle \{r^{n}:n\in \mathbb {Z} ,n>0\}}$ . ${\displaystyle S}$  es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización ${\displaystyle S^{-1}R}$ .

El nilradical

Sea ${\displaystyle R}$  un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de ${\displaystyle R}$  forman un ideal ${\displaystyle N}$ . Sean ${\displaystyle a}$  y ${\displaystyle b}$  elementos nilpotentes de ${\displaystyle R}$  con ${\displaystyle a^{n}=0}$  y ${\displaystyle b^{m}=0}$ . Probamos que ${\displaystyle a+b}$  es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

${\displaystyle (a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}}$ 

Para cada ${\displaystyle i}$ , se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle i\geq n}$ 
• ${\displaystyle n+m-i\geq m}$ 

Esto dice que en cada expresión ${\displaystyle a^{i}\cdot b^{n+m-i}}$ , o bien el exponente de ${\displaystyle a}$  será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si ${\displaystyle i<n}$  entonces es ${\displaystyle n+m-i>n+m-n=m}$ , luego el exponente de ${\displaystyle b}$  es mayor o igual que ${\displaystyle m}$ , y así ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=a^{i}\cdot (b^{m})^{n+m-i-m}=a^{i}0^{n-i}=0}$ ), o bien el exponente de ${\displaystyle b}$  será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si ${\displaystyle i\geq n}$  entonces es ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-i}=(a^{n})^{i-n}b^{n+m-i}=0^{i-n}b^{n+m-i}=0}$ ). Así tenemos que ${\displaystyle a+b}$  es nilpotente, y por tanto está en ${\displaystyle N}$ .

Para terminar de comprobar que ${\displaystyle N}$  es un ideal, cogemos un elemento arbitrario ${\displaystyle r\in R}$ . ${\displaystyle (r\cdot a)^{n}=r^{n}\cdot a^{n}=r^{n}\cdot 0=0}$ , así que ${\displaystyle r\cdot a}$  es nilpotente, y está por tanto en ${\displaystyle N}$ . Con lo que ${\displaystyle N}$  es un ideal.

${\displaystyle N}$  se denomina entonces nilradical de ${\displaystyle R}$ , o radical nilpotente de ${\displaystyle R}$ , y se denota por ${\displaystyle N(R)}$ . Al anillo ${\displaystyle {\frac {R}{N(R)}}}$  se le denomina anillo reducido (asociado a ${\displaystyle R}$ ), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que ${\displaystyle N(R/N(R))=\{0\}}$ .

Es sencillo demostrar que ${\displaystyle N(R)={\hbox{rad }}0}$ , esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de ${\displaystyle R}$  es la intersección de todos los ideales primos de ${\displaystyle R}$ .

•   Datos: Q1199022