Se le llama identidad notable o producto notable a un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.[1]
Visualización de la regla de factor común. Forma un nomon.
El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es , es decir, el producto de la base por la altura , también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y
Cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando:
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
Demostración
Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso en induciendo en abundantes errores.
El caso .
Finalmente .
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de binomios con un término común
Dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:
Dos binomios conjugados se diferencian solo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
Agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:
Adición de cubos:
Diferencia de cubos:
Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potenciasenésimas (o n - ésimas: xn).
Suma de dos cuadrados
Dónde i es la unidad imaginaria (√-1)
Demostración
Suma de potencias enésimas:
Si –sólo si–n es impar,
Diferencia de potencias enésimas:
Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.
Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmula[n 3] ingeniosa:
Wentworth, George Albert; Smith, David Eugene (1980). Elementos de álgebra (2ª edición). Boston: Porrúa. p. 458. ISBN9789684325296.
Datos:Q1971429
Febrero 10, 2022
producto, notable, llama, identidad, notable, producto, notable, cierto, producto, cumple, reglas, fijas, cuyo, resultado, puede, escrito, simple, inspección, decir, verificar, multiplicación, cada, producto, notable, corresponde, fórmula, factorización, ejemp. Se le llama identidad notable o producto notable a un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccion es decir sin verificar la multiplicacion 1 Cada producto notable corresponde a una formula de factorizacion Por ejemplo la factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados Indice 1 Factor comun 2 Cuadrado de un binomio 3 Producto de binomios con un termino comun 3 1 Dos binomios con un termino comun 3 2 Tres binomios con termino comun 3 3 Binomios con un termino comun 4 Producto de dos binomios conjugados 5 Cuadrado de un polinomio 6 Cubo de un binomio 7 Identidad de Argand 8 Identidades de Gauss 9 Identidades de Legendre 10 Identidades de Lagrange 11 Otras identidades 12 Vease tambien 13 Notas 14 Referencias 15 BibliografiaFactor comun Editar Visualizacion de la regla de factor comun Forma un nomon El resultado de multiplicar un binomio a b displaystyle a b por un termino c displaystyle c se obtiene aplicando la propiedad distributiva c a b c a c b displaystyle c cdot a b c cdot a c cdot b En la figura adjunta se observa que el area del rectangulo es c a b displaystyle c a b es decir el producto de la base a b displaystyle a b por la altura c displaystyle c tambien puede obtenerse como la suma de las dos areas coloreadas c a displaystyle ca y c b displaystyle cb Cuadrado de un binomio Editar Ilustracion grafica del binomio al cuadrado Para elevar un binomio al cuadrado es decir multiplicarlo por si mismo se suman los cuadrados de cada termino mas el doble del producto de ellos dando a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a b 2 a 2 2ab b 2 Demostracion a b 2 a b a b a b a a b b displaystyle a b 2 a b cdot a b a b cdot a a b cdot b a a b a a b b b displaystyle a cdot a b cdot a a cdot b b cdot b a 2 2 a b b 2 displaystyle a 2 2 cdot a cdot b b 2 La expresion siguiente a 2 2 a b b 2 displaystyle a 2 2ab b 2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto Cuando el segundo termino es negativo la igualdad que se obtiene es a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a b 2 a 2 2ab b 2 Demostracion a b 2 a b 2 displaystyle a b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a 2 2 cdot a cdot b b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a 2 2 cdot a cdot b b 2 Formula no recomendable cuando no se omite el caso b 7 displaystyle b 7 en x 7 2 displaystyle x 7 2 induciendo en abundantes errores El caso a b 2 a b 2 displaystyle a b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a 2 2 cdot a cdot b b 2 Finalmente a b 2 a b 2 a b 2 displaystyle a b 2 a b 2 a b 2 Ejemplo 2 x 3 y 2 2 x 2 2 2 x 3 y 3 y 2 displaystyle 2x 3y 2 2x 2 2 2x 3y 3y 2 Simplificando 2 x 3 y 2 4 x 2 12 x y 9 y 2 displaystyle 2x 3y 2 4x 2 12xy 9y 2 Producto de binomios con un termino comun EditarDos binomios con un termino comun Editar Ilustracion grafica del producto de binomios con un termino comun Para efectuar un producto de dos binomios con termino comun se tiene que identificar el termino comun en este caso x luego se aplica la formula siguiente x a x b x 2 a b x a b displaystyle x a x b x 2 a b x ab Demostracion x a x b x a x x a b x x a x x b a b displaystyle x a cdot x b x a x x a b x cdot x a cdot x x cdot b a cdot b x x a x x b a b displaystyle x cdot x a cdot x x cdot b a cdot b x 2 a b x a b displaystyle x 2 a b x a cdot b Ejemplo x 4 x 7 x 2 3 x 28 displaystyle x 4 x 7 x 2 3x 28 2 y 1 2 y 3 2 y 2 1 3 2 y 1 3 4 y 2 8 y 3 displaystyle 2y 1 2y 3 2y 2 1 3 2y 1 3 4y 2 8y 3 Tres binomios con termino comun Editar Formula general x a x b x c x 3 a b c x 2 a b c a c b x a b c displaystyle x a x b x c x 3 a b c x 2 ab ca cb x abc Binomios con un termino comun Editar Formula general x a 1 x a n displaystyle x a 1 cdot cdot x a n x n a 1 a n x n 1 displaystyle x n a 1 a n x n 1 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a n displaystyle a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a n a 2 a 3 a 2 a n displaystyle a 2 a 3 a 2 a n displaystyle a n 1 a n x n 2 displaystyle a n 1 a n x n 2 displaystyle a 1 a n displaystyle a 1 cdot cdot a n Producto de dos binomios conjugados EditarVease tambien Conjugado matematica Producto de binomios conjugados Dos binomios conjugados se diferencian solo en el signo de la operacion Para su multiplicacion basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos obviamente un termino conserva el signo negativo con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados a b a b a 2 b 2 displaystyle a b a b a 2 b 2 Ejemplo 3 x 5 y 3 x 5 y displaystyle 3x 5y 3x 5y 3 x 3 x 3 x 5 y 5 y 3 x 5 y 5 y displaystyle 3x 3x 3x 5y 5y 3x 5y 5y Agrupando terminos 3 x 5 y 3 x 5 y 9 x 2 25 y 2 displaystyle 3x 5y 3x 5y 9x 2 25y 2 A este producto notable tambien se le conoce como suma por la diferencia En el caso p a b c p a b c p a 2 b c 2 displaystyle p a b c p a b c p a 2 b c 2 n 1 aparecen polinomios Cuadrado de un polinomio Editar Elevacion de un trinomio al cuadrado de forma grafica Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de terminos se suman los cuadrados de cada termino individual y luego se anade el doble de la suma de los productos de cada posible par de terminos a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 a b a c b c displaystyle a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab ac bc a b c d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 a b a c a d b c b d c d displaystyle a b c d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2 ab ac ad bc bd cd Ejemplo 3 x 2 y 5 z 2 3 x 2 y 5 z 3 x 2 y 5 z displaystyle 3x 2y 5z 2 3x 2y 5z 3x 2y 5z Multiplicando los monomios 3 x 2 y 5 z 2 3 x 3 x 3 x 2 y 3 x 5 z displaystyle 3x 2y 5z 2 3x cdot 3x 3x cdot 2y 3x cdot 5z 2 y 3 x 2 y 2 y 2 y 5 z displaystyle 2y cdot 3x 2y cdot 2y 2y cdot 5z 5 z 3 x 5 z 2 y 5 z 5 z displaystyle 5z cdot 3x 5z cdot 2y 5z cdot 5z Agrupando terminos 3 x 2 y 5 z 2 9 x 2 4 y 2 25 z 2 2 6 x y 15 x z 10 y z displaystyle 3x 2y 5z 2 9x 2 4y 2 25z 2 2 6xy 15xz 10yz Luego 3 x 2 y 5 z 2 9 x 2 4 y 2 25 z 2 12 x y 30 x z 20 y z displaystyle 3x 2y 5z 2 9x 2 4y 2 25z 2 12xy 30xz 20yz Romper moldes x x 1 x 2 x 3 1 x 2 3 x 1 2 displaystyle x x 1 x 2 x 3 1 x 2 3x 1 2 n 2 Cubo de un binomio Editar Descomposicion volumetrica del binomio al cubo Para calcular el cubo de un binomio se suman sucesivamente El cubo del primer termino El triple producto del cuadrado del primero por el segundo El triple producto del primero por el cuadrado del segundo El cubo del segundo termino a b 3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 displaystyle a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 Identidades de Cauchy a b 3 a 3 b 3 3 a b a b displaystyle a b 3 a 3 b 3 3ab a b Ejemplo x 2 y 3 x 3 3 x 2 2 y 3 x 2 y 2 2 y 3 displaystyle x 2y 3 x 3 3 x 2 2y 3 x 2y 2 2y 3 Agrupando terminos x 2 y 3 x 3 6 x 2 y 12 x y 2 8 y 3 displaystyle x 2y 3 x 3 6x 2 y 12xy 2 8y 3 Si la operacion del binomio implica resta el resultado es El cubo del primer termino Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo Mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo Menos el cubo del segundo termino a b 3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 displaystyle a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 Identidades de Cauchy a b 3 a 3 b 3 3 a b a b displaystyle a b 3 a 3 b 3 3ab a b Ejemplo x 2 y 3 x 3 3 x 2 2 y 3 x 2 y 2 2 y 3 displaystyle x 2y 3 x 3 3 x 2 2y 3 x 2y 2 2y 3 Agrupando terminos x 2 y 3 x 3 6 x 2 y 12 x y 2 8 y 3 displaystyle x 2y 3 x 3 6x 2 y 12xy 2 8y 3 Identidad de Argand Editar x 2 x 1 x 2 x 1 x 4 x 2 1 displaystyle x 2 x 1 x 2 x 1 x 4 x 2 1 Identidades de Gauss Editara 3 b 3 c 3 3 a b c a b c a 2 b 2 c 2 a b b c a c displaystyle a 3 b 3 c 3 3abc a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ac a 3 b 3 c 3 3 a b c 1 2 a b c a b 2 b c 2 a c 2 displaystyle a 3 b 3 c 3 3abc frac 1 2 a b c a b 2 b c 2 a c 2 Identidades de Legendre Editar a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 displaystyle a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 a b 2 a b 2 4 a b displaystyle a b 2 a b 2 4ab a b 4 a b 4 8 a b a 2 b 2 displaystyle a b 4 a b 4 8ab a 2 b 2 Identidades de Lagrange EditarArticulo principal Identidad de Lagrange a 2 b 2 x 2 y 2 a x b y 2 a y b x 2 displaystyle a 2 b 2 x 2 y 2 ax by 2 ay bx 2 a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 a x b y c z 2 a y b x 2 a z c x 2 b z c y 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 ax by cz 2 ay bx 2 az cx 2 bz cy 2 Otras identidades EditarDado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista determinante que indique a cuales productos se les puede considerar notables y a cuales no A otras formulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan Adicion de cubos a 3 b 3 a b a 2 a b b 2 displaystyle a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 Diferencia de cubos a 3 b 3 a b a 2 a b b 2 displaystyle a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 Es mas frecuente listar las dos expresiones anteriores como las formulas de factorizacion ya que los productos no tienen una forma particularmente simetrica pero el resultado si contrastese por ejemplo con la formula de binomio al cubo a b a 2 a b b 2 a 3 b 3 displaystyle a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 a b a 2 a b b 2 a 3 b 3 displaystyle a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enesimas o n esimas xn Suma de dos cuadrados a 2 b 2 a b i a b i displaystyle a 2 b 2 a bi a bi Donde i es la unidad imaginaria 1 Demostracion a b i a b i a 2 b i 2 a 2 b 2 i 2 a 2 b 2 1 a 2 b 2 a 2 b 2 displaystyle a bi a bi a 2 bi 2 a 2 b 2 cdot i 2 a 2 b 2 1 a 2 b 2 a 2 b 2 Suma de potencias enesimas Si solo si n es impar a n b n a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 b n 1 displaystyle a n b n a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 cdots b n 1 Diferencia de potencias enesimas a n b n a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 b n 1 displaystyle a n b n a b a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 cdots b n 1 Las formulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe una formula n 3 ingeniosa a 3 a 1 a 2 2 a 1 a 2 2 displaystyle a 3 left frac a 1 a 2 right 2 left frac a 1 a 2 right 2 Vease tambien EditarBinomio Trinomio Factorizacion Triangulo de Pascal Cocientes notables Completar el cuadradoNotas Editar Ya no se esta ante binomios conjugados El nombre clasico e historico es diferencia de cuadrados Hay que multiplicar en el primer miembro Luego tantear y poner como el cuadrado de un trinomio En Aritmetica elemental de Enzo Gentile hay un problema con su respectiva sugerenciaReferencias Editar Baldor Aurelio 19 de junio de 1941 VI Algebra de Baldor Grupo Editoria mierdin l Patria p 97 Bibliografia EditarWentworth George Albert Smith David Eugene 1980 Elementos de algebra 2ª edicion Boston Porrua p 458 ISBN 9789684325296 Datos Q1971429 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Producto notable amp oldid 141376259, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,