En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:
Para cualesquiera números se cumple:
La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.
La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.
Prueba mediante desarrollo algebraico
Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado:
sustituyendo por :
Por otro lado, del binomio al cuadrado podemos despejar
y sustituyendo en la suma previa resulta en
Pero es la suma de todos los términos de la forma para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como
Haciendo la sustitución arroja finalmente
equivalente a la identidad que queremos demostrar.
Interpretación vectorial
Si consideramos los números y como componentes de vectores en :
,
entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar, pues
y
de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:
Si son dos vectores de , entonces
Sin embargo, cuando , la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:
Si son dos vectores de , entonces
Bibliografía
Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003). Mathematical miniatures. Anneli Lax New Mathematical Library (en inglés)43. The Mathematical Association of America. ISBN088385645X.
Weisstein, Eric W. «Lagrange's Identity». Mathworld(en inglés). Consultado el 8 de mayo de 2012.
Datos:Q1206853
Febrero 17, 2022
identidad, lagrange, matemática, identidad, lagrange, identidad, relacionada, factorización, productos, sumas, cuadrados, forma, más, simple, establece, para, cualesquiera, números, displaystyle, cumple, displaystyle, forma, anterior, puede, generalizarse, núm. En matematica la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorizacion de productos y sumas de cuadrados En su forma mas simple establece Para cualesquiera numeros a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle a 1 a 2 b 1 b 2 se cumple a 1 2 a 2 2 b 1 2 b 2 2 a 1 b 1 a 2 b 2 2 a 1 b 2 a 2 b 1 2 displaystyle a 1 2 a 2 2 b 1 2 b 2 2 a 1 b 1 a 2 b 2 2 a 1 b 2 a 2 b 1 2 La forma anterior puede generalizarse a un numero arbitrario de variables Si a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n y b 1 b 2 b n displaystyle b 1 b 2 ldots b n son numeros reales o complejos entonces k 1 n a k 2 k 1 n b k 2 k 1 n a k b k 2 1 i lt j n a i b j a j b i 2 displaystyle left sum k 1 n a k 2 right left sum k 1 n b k 2 right left sum k 1 n a k b k right 2 sum 1 leq i lt j leq n a i b j a j b i 2 En anillos conmutativos EditarLa forma mas directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para numeros reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo Prueba mediante desarrollo algebraicoPrimero hacemos uso de la formula para desarrollar una suma elevada al cuadrado k 1 n x k 2 k 1 n x k 2 1 i lt j n 2 x i x j displaystyle left sum k 1 n x k right 2 sum k 1 n x k 2 sum 1 leq i lt j leq n 2x i x j sustituyendo x k displaystyle x k por a k b k displaystyle a k b k k 1 n a k b k 2 k 1 n a k 2 b k 2 1 i lt j n 2 a i b j a j b i displaystyle left sum k 1 n a k b k right 2 sum k 1 n a k 2 b k 2 sum 1 leq i lt j leq n 2a i b j a j b i Por otro lado del binomio al cuadrado a i b j a j b i 2 a i 2 b j 2 2 a i b j a j b i a j 2 b i 2 displaystyle a i b j a j b i 2 a i 2 b j 2 2a i b j a j b i a j 2 b i 2 podemos despejar 2 a i b j a j b i a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 a i b j a j b i 2 displaystyle 2a i b j a j b i a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 a i b j a j b i 2 y sustituyendo en la suma previa resulta en k 1 n a k b k 2 k 1 n a k 2 b k 2 1 i lt j n a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 1 i lt j n a i b j a j b i 2 displaystyle left sum k 1 n a k b k right 2 sum k 1 n a k 2 b k 2 sum 1 leq i lt j leq n a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 sum 1 leq i lt j leq n a i b j a j b i 2 Pero k 1 n a k 2 b k 2 1 i lt j n a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 displaystyle sum k 1 n a k 2 b k 2 sum 1 leq i lt j leq n a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 es la suma de todos los terminos de la forma a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 para cualquier par de subindices y por tanto se puede factorizar como k 1 n a k 2 b k 2 1 i lt j n a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 k 1 n a k 2 k 1 n b k 2 displaystyle sum k 1 n a k 2 b k 2 sum 1 leq i lt j leq n a i 2 b j 2 a j 2 b i 2 left sum k 1 n a k 2 right left sum k 1 n b k 2 right Haciendo la sustitucion arroja finalmente k 1 n a k b k 2 k 1 n a k 2 k 1 n b k 2 1 i lt j n a i b j a j b i 2 displaystyle left sum k 1 n a k b k right 2 left sum k 1 n a k 2 right left sum k 1 n b k 2 right sum 1 leq i lt j leq n a i b j a j b i 2 equivalente a la identidad que queremos demostrar Interpretacion vectorial EditarSi consideramos los numeros a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 ldots a n y b 1 b 2 b n displaystyle b 1 b 2 ldots b n como componentes de vectores en R n displaystyle mathbb R n a a 1 a 2 a n b b 1 b 2 b n displaystyle mathbf a a 1 a 2 ldots a n qquad mathbf b b 1 b 2 ldots b n entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en terminos de las normas de los vectores y el producto escalar pues a k 1 n a k 2 b k 1 n b k 2 displaystyle Vert mathbf a Vert left sum k 1 n a k 2 right qquad Vert mathbf b Vert left sum k 1 n b k 2 right y a b k 1 n a k b k displaystyle mathbf a cdot mathbf b sum k 1 n a k b k de manera que la identidad de Lagrange se convierte en Si a a 1 a 2 a n b b 1 b 2 b n displaystyle mathbf a a 1 a 2 ldots a n mathbf b b 1 b 2 ldots b n son dos vectores de R n displaystyle mathbb R n entonces a 2 b 2 a b 2 1 i lt j n a i b j a j b i 2 displaystyle Vert mathbf a Vert 2 Vert mathbf b Vert 2 mathbf a cdot mathbf b 2 sum 1 leq i lt j leq n a i b j a j b i 2 Sin embargo cuando n 3 displaystyle n 3 la ultima suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como Si a a 1 a 2 a 3 b b 1 b 2 b 3 displaystyle mathbf a a 1 a 2 a 3 mathbf b b 1 b 2 b 3 son dos vectores de R 3 displaystyle mathbb R 3 entonces a 2 b 2 a b 2 a b 2 displaystyle Vert mathbf a Vert 2 Vert mathbf b Vert 2 mathbf a cdot mathbf b 2 mathbf a times mathbf b 2 Bibliografia EditarSavchev Svetoslav Andreescu Titu 2003 Mathematical miniatures Anneli Lax New Mathematical Library en ingles 43 The Mathematical Association of America ISBN 088385645X Weisstein Eric W Lagrange s Identity Mathworld en ingles Consultado el 8 de mayo de 2012 Datos Q1206853 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Identidad de Lagrange amp oldid 140590523, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,