Polinomio mínimo de un endomorfismo

Para el polinomio mínimo de un elemento algebraico de un cuerpo, véase Polinomio mínimo (teoría de cuerpos).

En álgebra lineal, el polinomio mínimo μ_A de una matriz A de dimensión (n × n) sobre un cuerpo F es el polinomio mónico P sobre F de menor grado tal que P(A) = 0. Cualquier otro polinomio Q con Q(A) = 0 es un (polinomio) múltiplo de μ_A.

Características

Las siguientes tres declaraciones son equivalentes:

1. λ es una raíz de μ_A,
2. λ es una raíz del polinomio característico χ_A de A,
3. λ es un valor propio de la matriz A.

La multiplicidad de una raíz λ de μ_A es la potencia más grande m de manera que ker((A − λI_n)^m) estrictamente contiene ker((A − λI_n)^m−1). En otras palabras, aumentar el exponente hasta m dará núcleos cada vez más grandes, pero aumentar aún más el exponente más allá de m solo dará el mismo núcleo.

Si el cuerpo F no es algebraicamente cerrado, entonces los polinomios mínimos y característicos no necesitan factorizarse solo de acuerdo con sus raíces (en F), en otras palabras, pueden tener como factores polinomios irreducibles de grado mayor que 1. Para polinomios irreducibles P se tienen equivalencias similares:

1. P divide μ_A
2. P divide χ_A
3. El núcleo de P(A) tiene dimensión al menos 1
4. El núcleo de P(A) tiene dimensión al menos deg(P)

Al igual que el polinomio característico, el polinomio mínimo no depende del cuerpo base, es decir, considerar la matriz como una con coeficientes en un cuerpo mayor no cambia el polinomio mínimo. La razón es algo diferente a la del polinomio característico (donde es inmediato de la definición de determinantes), es decir, el hecho de que el polinomio mínimo está determinado por las relaciones de dependencia e independencia lineal entre las potencias de A: extender el cuerpo base no introducirá ninguna nueva relación de este tipo (ni, por supuesto, eliminará las existentes).

El polinomio mínimo suele ser el mismo que el polinomio característico, pero no siempre. Por ejemplo, si A es un aI_n múltiple de la matriz de identidad, entonces su polinomio mínimo es X − a ya que el núcleo de aI_n − A = 0 ya es el espacio completo; por otro lado su polinomio característico es (X − a)ⁿ (el único valor propio es a, y el grado del polinomio característico es siempre igual a la dimensión del espacio). El polinomio mínimo siempre divide el polinomio característico, que es una forma de formular el teorema de Cayley-Hamilton (para el caso de matrices sobre un cuerpo).

Definición formal

Dado un endomorfismo T en un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo F, sea I_T el conjunto definido como

${\displaystyle {\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)=0\}}$ 

donde F[t] es el espacio de todos los polinomios sobre el cuerpo F. I_T es un ideal propio de F[t]. Dado que F es un cuerpo, F[t] es un dominio de ideales principales, por lo que cualquier ideal es generado por un solo polinomio, que es único salvo las unidades en F. Se puede hacer una elección particular entre los generadores, ya que precisamente uno de los generadores es mónico. El polinomio mínimo se define así como el polinomio mónico que genera I_T. Es el polinomio mónico de menor grado en I_T.

Aplicaciones

Un endomorfismo φ de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo F posee una matriz diagonalizable si y solo si su polinomio mínimo se factoriza completamente sobre F en factores lineales distintos. El hecho de que solo haya un factor X − λ para cada valor propio λ significa que el autoespacio generalizado para λ es el mismo que el espacio propio para λ: cada bloque de Jordan tiene un tamaño 1. De manera más general, si φ satisface una ecuación polinómica P(φ) = 0 donde P se factoriza en distintos factores lineales sobre F, entonces será diagonalizable: su polinomio mínimo es un divisor de P y, por lo tanto, también se factoriza en distintos factores lineales. En particular, se tiene que:

• P = X^k − 1: los endomorfismos de orden finito de espacios vectoriales complejos son diagonalizables. Para el caso especial k = 2 de involuciones, esto es incluso cierto para endomorfismos de espacios vectoriales sobre cualquier cuerpo de característica que no sea 2, ya que X² − 1 = (X − 1)(X + 1) es una factorización con factores distintos sobre dicho cuerpo. Esto es parte de la teoría de representación de grupos cíclicos.
• P = X² − X = X(X − 1): los endomorfismos que satisfacen φ² = φ se denominan proyecciones y siempre son diagonalizables (además, sus únicos valores propios son 0 y 1).
• Por el contrario, si μ_φ = X^k con k ≥ 2, φ (un endomorfismo nilpotente) no es necesariamente diagonalizable, ya que X^k tiene una raíz repetida 0.

Estos casos también se pueden probar directamente, pero el polinomio mínimo proporciona una perspectiva y una prueba unificadas.

Los polinomios mínimos de ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n)}$  tienen conexiones con los polinomios ciclotómicos.^[1]​

Computación

Para un vector v en V, se define:

${\displaystyle {\mathit {I}}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\;|\;p(T)(v)=0\}.}$ 

Esta definición satisface las propiedades de un ideal propio, siendo μ_T,v el polinomio mónico que lo genera.

Propiedades

• Dado que I_T,v contiene el polinomio mínimo μ_T, este último es divisible por μ_T,v.
• Si d es el número natural negativo tal que v, T(v), ..., T^d(v) son linealmente dependiente, entonces existe a₀, a₁, ..., a_d−1 único en F, no todo cero, de modo que

  ${\displaystyle a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0}$ 

  y para estos coeficientes se tiene

  ${\displaystyle \mu _{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+\ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.}$ 

• Sea el subespacio W la imagen de μ_T,v(T), que es estable para T. Dado que μ_T,v(T) anula al menos los vectores v, T(v), ..., T^d-1(v), la codimensión de W es al menos d.
• El polinomio mínimo μ_T es el producto de μ_T,v y el polinomio mínimo Q de la restricción de T a W. En el (probable) caso de que W tenga la dimensión 0, se tiene que Q = 1 y, por lo tanto, μ_T = μ_T,v; de lo contrario, un cálculo recursivo de Q es suficiente para encontrar μ_T.

Ejemplo

Sea T el endomorfismo de R³ con matriz, sobre una base canónica,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{pmatrix}}.}$ 

Tomando el primer vector de base canónica e₁ y sus imágenes repetidas por T se obtiene

${\displaystyle e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}.\quad T^{2}\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}{\mbox{ and}}\quad T^{3}\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}}}$ 

de los cuales los tres primeros se ven fácilmente como linealmente independientes y, por lo tanto, abarcan todo R³. El último entonces es necesariamente una combinación lineal de los tres primeros, de hecho

T³⋅e₁ = −4T²⋅e₁ − T⋅e₁ + e₁,

así que:

μ_T,e1 = X³ + 4X² + X − I.

De hecho, este es también el polinomio mínimo μ_T y el polinomio característico χ_T: efectivamente μ_T,e1 divide a μ_T que divide a χ_T, y como el primero y el último son de grado 3 y todos son monicos, todos deben ser iguales. Otra razón es que en general si algún polinomio en T anula un vector v, entonces también anula T⋅v (basta con aplicar T a la ecuación que dice que anula v), y por tanto por iteración anula todo el espacio generado por las imágenes iteradas por T de v; en el caso actual, se ve que para v = e₁ ese espacio es todo R³, entonces μ_T,e1(T) = 0. De hecho, se verifica para la matriz completa que T³ + 4T² + T − I₃ es la matriz nula:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-3\\3&-13&23\\-4&19&-36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&4&-6\\1&-5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

Referencias

1. D. H. Lehmer (1933). «A note on trigonometric algebraic numbers». American Mathematical Monthly 40 (3): 165-166. JSTOR 2301023. doi:10.2307/2301023. 

Bibliografía

• Lang, Serge (2002). Algebra, Graduate Texts in Mathematics (3ª revisada edición). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. 

•   Datos: Q1163608