Oscilador de van der Pol

En sistemas dinámicos, el oscilador de van der Pol es un oscilador con amortiguamiento no lineal. Su evolución temporal obedece a una ecuación diferencial de segundo orden:

Plano de fases de un oscilador de van der Pol no forzado.

Evolución del ciclo límite en el plano de fase.

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

en la que x es la posición, función del tiempo t, y μ es un parámetro escalar que gobierna la no linealidad y el amortiguamiento.

Historia

El oscilador de van der Pol fue descrito por el ingeniero y físico Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips.^[1]​ Van der Pol encontró oscilaciones estables, que llamó oscilaciones de relajación,^[2]​ conocidas en la actualidad como ciclos límite, en circuitos que usaban válvulas de vacío. Cuando esos circuitos se hacen funcionar cerca del ciclo límite entran en acoplamiento y la señal entra en fase con la corriente. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en el número de septiembre de 1927 de Nature^[3]​ que para determinadas frecuencias aparecía un ruido irregular, siempre cerca de las frecuencias de acoplamiento. Fue uno de los primeros descubrimientos experimentales de la Teoría del caos.^[4]​

La ecuación de van der Pol tiene una larga historia en física y biología. Por ejemplo, en biología, Fitzhugh^[5]​ y Nagumo^[6]​ aplicaron la ecuación a un campo bidimensional en el modelo de FitzHugh-Nagumo para describir el potencial de acción de las neuronas. También se ha usado en sismología para modelar el comportamiento de dos placas en una falla.^[7]​

Forma bidimensional

El teorema de Liénard prueba que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard ${\displaystyle y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$ , donde el '.' indica derivada, la ecuación se puede escribir en forma bidimensional:^[8]​

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$ 

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$ 

Resultados del oscilador no forzado

 

Oscilador de van der Pol sin excitación externa. El parámetro de amortiguamiento no lineal es μ = 5.

Hay dos regímenes de funcionamiento interesantes para el oscilador no forzado:^[9]​

• Cuando μ = 0, no hay amortiguamiento, y la ecuación queda:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.}$ 

Es la fórmula del oscilador armónico simple sin pérdida de energía.

• Cuando μ > 0, el sistema alcanzará un ciclo límite, en el que se conservará la energía. Cerca del origen x = dx/dt = 0 el sistema es inestable, y lejos del origen hay amortiguamiento.

El oscilador de van der Pol forzado

 

Comportamiento caótico en el oscilador de van der Pol con excitación sinusoidal. μ = 8.53, mientras que la excitación externa tiene amplitud A = 1.2 y frecuencia angular ω = 2π / 10.

Utilizando una fuente de excitación sinusoidal Asin(ωt) la ecuación diferencial queda:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$ 

en la que A es la amplitud de la ecuación de onda y ω su velocidad angular.

Referencias

1. Cartwright, M.L., "Balthazar van der Pol", J. London Math. Soc., 35, 367-376, (1960).
2. Van der Pol, B., "On relaxation-oscillations", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978-992 (1927).
3. Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363-364, (1927).
4. Kanamaru, T., "Van der Pol oscillator", Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
5. FitzHugh, R., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes”, Biophysics J, 1, 445-466, (1961).
6. Nagumo, J., Arimoto, S. and Yoshizawa, S. "An active pulse transmission line simulating nerve axon", Proc. IRE, 50, 2061-2070, (1962).
7. Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197–2202, (1999).
8. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240-244, (1995).
9. Grimshaw, R., Nonlinear ordinary differential equations, CRC Press, 153–163, (1993), ISBN 0-8493-8607-1.

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Van der Pol Oscillator» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
• Oscilador de van der Pol oscillator en Scholarpedia
• Oscilador de Van Der Pol Oscillator interactivo
• There's No Quiet Without Noise, New York Times

•   Datos: Q2081515
•   Multimedia: Van der Pol oscillator