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Número poligonal

Enero 29, 2023

Números poligonales
Los cuatro primeros tipos de números poligonales: números triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales

En matemáticas, un número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

Números poligonales

El número 10 puede recomponerse como un triángulo (véase número triangular):

 
  
   
    

Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):

   
   
   

Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):

      
      
      
      
      
       		 
  
   
    
     
      
       
        

El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos.

Fórmulas

 
Un número s-gonal se puede descomponer en s−2 números triangulares y en un número natural

Si s es el número de lados de un polígono, la fórmula para el n-ésimo número s-gonal P(s,n) es

 

o

 

El n-ésimo número s-gonal también está relacionado con los números triangulares Tn de la siguiente manera:

 

Por lo tanto:

 

Para un número s-gonal dado P(s,n) = x, se puede encontrar n mediante la fórmula

 

y a su vez se puede encontrar s calculando

 .

Cada número hexagonal es también un número triangular

Aplicando la fórmula anterior:

 

al caso de 6 lados, se obtiene:

 

pero sabiendo que:

 

resulta:

 

Esto demuestra que el n-'esimo número hexagonal P(6,n) es también el (2n − 1)-ésimo número triangular T2n−1. Se puede determinar la secuencia de los números hexagonales simplemente tomando los números triangulares impares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

n-ésimo número poligonal

Si   es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el  -ésimo número poligonal de   lados es  .

Nombre Fórmula n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Triangular ½n(1n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
Cuadrado ½n(2n - 0) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Pentagonal ½n(3n - 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247
Hexagonal ½n(4n - 2) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325
Heptagonal ½n(5n - 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403
Octagonal ½n(6n - 4) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481
Nonagonal ½n(7n - 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559
Decagonal ½n(8n - 6) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637
11-agonal ½n(9n - 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715
12-agonal ½n(10n - 8) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793
13-agonal ½n(11n - 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871
14-agonal ½n(12n - 10) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949
15-agonal ½n(13n - 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027
16-agonal ½n(14n - 12) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105
17-agonal ½n(15n - 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183
18-agonal ½n(16n - 14) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261
19-agonal ½n(17n - 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339
20-agonal ½n(18n - 16) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417
21-agonal ½n(19n - 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495
22-agonal ½n(20n - 18) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573
23-agonal ½n(21n - 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651
24-agonal ½n(22n - 20) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729
25-agonal ½n(23n - 21) 1 25 72 142 235 351 491 652 837 1045 1276 1530 1807
26-agonal ½n(24n - 22) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885
27-agonal ½n(25n - 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963
28-agonal ½n(26n - 24) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041
29-agonal ½n(27n - 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119
30-agonal ½n(28n - 26) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

Propiedades

La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los números poligonales. Son especialmente relevantes los resultados de la suma de los inversos de los números poligonales  . Los primeros 6 valores en la columna "suma de inversos", para números triangulares a octagonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también da una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma.[1]​

s Nombre Fórmula Suma de los inversos[1]​[2]​ número OEIS
3 Triangular 1/2(n2 + n) 2 [[1]​] A000217
4 Cuadrado 1/2(2n2 - 0n)
= n2 		π2/6 [[1]​] A000290
5 Pentagonal 1/2(3n2 - n) 3 ln 3 - π√3/3 [[1]​] A000326
6 Hexagonal 1/2(4n2 - 2n)
= 2n2 - n 		2 ln 2 [[1]​] A000384
7 Heptagonal 1/2(5n2 - 3n)   [[1]​] A000566
8 Octagonal 1/2(6n2 - 4n)
= 3n2 - 2n 		3/4 ln 3 + π√3/12 [[1]​] A000567
9 Nonagonal 1/2(7n2 - 5n) A001106
10 Decagonal 1/2(8n2 - 6n)
= 4n2 - 3n 		ln 2 + π/6 A001107
11 Hendecagonal 1/2(9n2 - 7n) A051682
12 Dodecagonal 1/2(10n2 - 8n) A051624
13 Tridecagonal 1/2(11n2 - 9n) A051865
14 Tetradecagonal 1/2(12n2 - 10n) 2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + π√3/10 A051866
15 Pentadecagonal 1/2(13n2 - 11n) A051867
16 Hexadecagonal 1/2(14n2 - 12n) A051868
17 Heptadecagonal 1/2(15n2 - 13n) A051869
18 Octadecagonal 1/2(16n2 - 14n) 4/7 ln 2 - √2/14 ln (3 - 2√2) + π(1 + √2)/14 A051870
19 Enneadecagonal 1/2(17n2 - 15n) A051871
20 Icosagonal 1/2(18n2 - 16n) A051872
21 Icosihenagonal 1/2(19n2 - 17n) A051873
22 Icosidigonal 1/2(20n2 - 18n) A051874
23 Icositrigonal 1/2(21n2 - 19n) A051875
24 Icositetragonal 1/2(22n2 - 20n) A051876
... ... ... ... ...
10000 Myriagonal 1/2(9998n2 - 9996n) A167149

El OEIS evita los términos que usan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que usan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (consúltese A086270):

 

con

 

Números multipoligonales

Algunos números, como el 36, que es tanto cuadrado como triangular, pertenece a dos conjuntos de números poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a una ecuación de Pell. El ejemplo más simple es la secuencia de números cuadrados triangulares.

La siguiente tabla resume el conjunto de números s-gonales t-gonales para valores pequeños de s y t.

s t Secuencia Número OEIS
4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... A036353
6 3 Todos los números hexagonales también son triangulares. A000384
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ... A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ... A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

En algunos casos, como s = 10 y t = 4, no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado solo el valor trivial de 1, aunque aún no se ha encontrado una prueba de que no exista algún número que pueda pertenecer a las tres clases.[3]​

El número 1225 es hecatonicositetragonal (s = 124), hexacontagonal (s = 60), icosienneagonal (s = 29), hexagonal, cuadrado y triangular.

El único conjunto poligonal que está contenido completamente en otro conjunto poligonal es el conjunto de números hexagonales, que está contenido en el conjunto de números triangulares.[cita requerida]

Véase también

Referencias

  1. ↑ . Archivado desde el original el 15 de junio de 2011. Consultado el 13 de junio de 2010. 
  2. . Archivado desde el original el 29 de mayo de 2013. Consultado el 6 de marzo de 2021. 
  3. Weisstein, Eric W. «Pentagonal Square Triangular Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Bibliografía

  • The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4] (en inglés).
  •   Datos: Q836270

Enero 29, 2023
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Numeros poligonalesLos cuatro primeros tipos de numeros poligonales numeros triangulares cuadrangulares pentagonales y hexagonalesEn matematicas un numero poligonal es un numero natural que puede recomponerse en un poligono regular Los matematicos de la Antiguedad descubrieron que los numeros podian disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas Indice 1 Numeros poligonales 2 Formulas 2 1 Cada numero hexagonal es tambien un numero triangular 3 n esimo numero poligonal 3 1 Propiedades 4 Numeros multipoligonales 5 Vease tambien 6 Referencias 7 BibliografiaNumeros poligonales EditarEl numero 10 puede recomponerse como un triangulo vease numero triangular Sin embargo el 10 no puede formar un cuadrado pero el 9 si vease numero cuadrado Algunos numeros como el 36 pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triangulo vease numero cuadrado triangular El metodo empleado para agrandar el poligono hasta el siguiente tamano es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego anadir los lados extra requeridos entre los puntos Formulas Editar Un numero s gonal se puede descomponer en s 2 numeros triangulares y en un numero natural Si s es el numero de lados de un poligono la formula para el n esimo numero s gonal P s n es P s n s 2 n 2 s 4 n 2 displaystyle P s n frac s 2 n 2 s 4 n 2 o P s n s 2 n n 1 2 n displaystyle P s n s 2 frac n n 1 2 n El n esimo numero s gonal tambien esta relacionado con los numeros triangulares Tn de la siguiente manera P s n s 2 T n 1 n s 3 T n 1 T n displaystyle P s n s 2 T n 1 n s 3 T n 1 T n Por lo tanto P s n 1 P s n s 2 n 1 P s 1 n P s n T n 1 n n 1 2 displaystyle begin aligned P s n 1 P s n amp s 2 n 1 P s 1 n P s n amp T n 1 frac n n 1 2 end aligned Para un numero s gonal dado P s n x se puede encontrar n mediante la formula n 8 s 2 x s 4 2 s 4 2 s 2 displaystyle n frac sqrt 8 s 2 x s 4 2 s 4 2 s 2 y a su vez se puede encontrar s calculando s 2 2 n x n n 1 displaystyle s 2 frac 2 n cdot frac x n n 1 Cada numero hexagonal es tambien un numero triangular Editar Aplicando la formula anterior P s n s 2 T n 1 n displaystyle P s n s 2 T n 1 n al caso de 6 lados se obtiene P 6 n 4 T n 1 n displaystyle P 6 n 4T n 1 n pero sabiendo que T n 1 n n 1 2 displaystyle T n 1 frac n n 1 2 resulta P 6 n 4 n n 1 2 n 2 n 2 n 1 2 T 2 n 1 displaystyle P 6 n frac 4n n 1 2 n frac 2n 2n 1 2 T 2n 1 Esto demuestra que el n esimo numero hexagonal P 6 n es tambien el 2n 1 esimo numero triangular T2n 1 Se puede determinar la secuencia de los numeros hexagonales simplemente tomando los numeros triangulares impares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 n esimo numero poligonal EditarSi l displaystyle l es el numero de lados de un poligono entonces la formula para el n displaystyle n esimo numero poligonal de l displaystyle l lados es n l 2 n l 4 2 displaystyle tfrac n l 2 n l 4 2 Nombre Formula n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Triangular n 1n 1 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91Cuadrado n 2n 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169Pentagonal n 3n 1 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247Hexagonal n 4n 2 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325Heptagonal n 5n 3 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403Octagonal n 6n 4 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481Nonagonal n 7n 5 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559Decagonal n 8n 6 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 63711 agonal n 9n 7 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 71512 agonal n 10n 8 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 79313 agonal n 11n 9 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 87114 agonal n 12n 10 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 94915 agonal n 13n 11 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 102716 agonal n 14n 12 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 110517 agonal n 15n 13 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 118318 agonal n 16n 14 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 126119 agonal n 17n 15 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 133920 agonal n 18n 16 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 141721 agonal n 19n 17 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 149522 agonal n 20n 18 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 157323 agonal n 21n 19 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 165124 agonal n 22n 20 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 172925 agonal n 23n 21 1 25 72 142 235 351 491 652 837 1045 1276 1530 180726 agonal n 24n 22 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 188527 agonal n 25n 23 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 196328 agonal n 26n 24 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 204129 agonal n 27n 25 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 211930 agonal n 28n 26 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197Propiedades Editar La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los numeros poligonales Son especialmente relevantes los resultados de la suma de los inversos de los numeros poligonales i 1 1 n i displaystyle sum i 1 infty frac 1 n i Los primeros 6 valores en la columna suma de inversos para numeros triangulares a octagonales provienen de una solucion publicada al problema general que tambien da una formula general para cualquier numero de lados en terminos de la funcion digamma 1 s Nombre Formula Suma de los inversos 1 2 numero OEIS3 Triangular 1 2 n2 n 2 1 A0002174 Cuadrado 1 2 2n2 0n n2 p2 6 1 A0002905 Pentagonal 1 2 3n2 n 3 ln 3 p 3 3 1 A0003266 Hexagonal 1 2 4n2 2n 2n2 n 2 ln 2 1 A0003847 Heptagonal 1 2 5n2 3n 2 3 ln 5 1 5 3 ln 10 2 5 2 1 5 3 ln 10 2 5 2 p 25 10 5 15 displaystyle begin matrix tfrac 2 3 ln 5 tfrac 1 sqrt 5 3 ln tfrac sqrt 10 2 sqrt 5 2 tfrac 1 sqrt 5 3 ln tfrac sqrt 10 2 sqrt 5 2 tfrac pi sqrt 25 10 sqrt 5 15 end matrix 1 A0005668 Octagonal 1 2 6n2 4n 3n2 2n 3 4 ln 3 p 3 12 1 A0005679 Nonagonal 1 2 7n2 5n A00110610 Decagonal 1 2 8n2 6n 4n2 3n ln 2 p 6 A00110711 Hendecagonal 1 2 9n2 7n A05168212 Dodecagonal 1 2 10n2 8n A05162413 Tridecagonal 1 2 11n2 9n A05186514 Tetradecagonal 1 2 12n2 10n 2 5 ln 2 3 10 ln 3 p 3 10 A05186615 Pentadecagonal 1 2 13n2 11n A05186716 Hexadecagonal 1 2 14n2 12n A05186817 Heptadecagonal 1 2 15n2 13n A05186918 Octadecagonal 1 2 16n2 14n 4 7 ln 2 2 14 ln 3 2 2 p 1 2 14 A05187019 Enneadecagonal 1 2 17n2 15n A05187120 Icosagonal 1 2 18n2 16n A05187221 Icosihenagonal 1 2 19n2 17n A05187322 Icosidigonal 1 2 20n2 18n A05187423 Icositrigonal 1 2 21n2 19n A05187524 Icositetragonal 1 2 22n2 20n A051876 10000 Myriagonal 1 2 9998n2 9996n A167149El OEIS evita los terminos que usan prefijos griegos por ejemplo octagonal en favor de terminos que usan numeros es decir 8 gonal Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad consultese A086270 2 P s n P s k n P s k n displaystyle 2 P s n P s k n P s k n con k 0 1 2 3 s 3 displaystyle k 0 1 2 3 s 3 Numeros multipoligonales EditarAlgunos numeros como el 36 que es tanto cuadrado como triangular pertenece a dos conjuntos de numeros poligonales El problema de determinar dados dos conjuntos de este tipo todos los numeros que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a una ecuacion de Pell El ejemplo mas simple es la secuencia de numeros cuadrados triangulares La siguiente tabla resume el conjunto de numeros s gonales t gonales para valores pequenos de s y t s t Secuencia Numero OEIS4 3 1 36 1225 41616 1413721 48024900 1631432881 55420693056 1882672131025 63955431761796 2172602007770041 73804512832419600 2507180834294496361 85170343853180456676 2893284510173841030625 98286503002057414584576 3338847817559778254844961 A0011105 3 1 210 40755 7906276 1533776805 297544793910 57722156241751 11197800766105800 2172315626468283465 A0149795 4 1 9801 94109401 903638458801 8676736387298001 83314021887196947001 799981229484128697805801 A0363536 3 Todos los numeros hexagonales tambien son triangulares A0003846 4 1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 2893284510173841030625 3338847817559778254844961 3853027488179473932250054441 A0461776 5 1 40755 1533776805 A0461807 3 1 55 121771 5720653 12625478965 593128762435 1309034909945503 61496776341083161 135723357520344181225 6376108764003055554511 14072069153115290487843091 A0461947 4 1 81 5929 2307361 168662169 12328771225 4797839017609 350709705290025 25635978392186449 9976444135331412025 A0363547 5 1 4347 16701685 64167869935 A0489007 6 1 121771 12625478965 A0489038 3 1 21 11781 203841 A0461838 4 1 225 43681 8473921 1643897025 318907548961 61866420601441 12001766689130625 2328280871270739841 451674487259834398561 87622522247536602581025 16998317641534841066320321 A0364288 5 1 176 1575425 234631320 A0461898 6 1 11781 113123361 A0461928 7 1 297045 69010153345 A0489069 3 1 325 82621 20985481 A0489099 4 1 9 1089 8281 978121 7436529 878351769 6677994961 788758910641 5996832038649 708304623404049 5385148492712041 636056763057925561 A0364119 5 1 651 180868051 A0489159 6 1 325 5330229625 A0489189 7 1 26884 542041975 A0489219 8 1 631125 286703855361 A048924En algunos casos como s 10 y t 4 no hay numeros en ambos conjuntos distintos del 1 El problema de encontrar numeros que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es mas dificil Una busqueda por computadora de numeros triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado solo el valor trivial de 1 aunque aun no se ha encontrado una prueba de que no exista algun numero que pueda pertenecer a las tres clases 3 El numero 1225 es hecatonicositetragonal s 124 hexacontagonal s 60 icosienneagonal s 29 hexagonal cuadrado y triangular El unico conjunto poligonal que esta contenido completamente en otro conjunto poligonal es el conjunto de numeros hexagonales que esta contenido en el conjunto de numeros triangulares cita requerida Vease tambien EditarNumero figurado Numero poligonal centradoReferencias Editar a b c d e f g h Archived copy Archivado desde el original el 15 de junio de 2011 Consultado el 13 de junio de 2010 Beyond the Basel Problem Sums of Reciprocals of Figurate Numbers Archivado desde el original el 29 de mayo de 2013 Consultado el 6 de marzo de 2021 Weisstein Eric W Pentagonal Square Triangular Number En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Bibliografia EditarThe Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells Penguin Books 1997 ISBN 0 14 026149 4 en ingles Weisstein Eric W Polygonal numbers En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q836270 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Numero poligonal amp oldid 148716369, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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