Número decimal periódico

Un número decimal periódico es un número racional con parte fraccionaria caracterizado por tener un período (cifras que se repiten infinitamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de diferentes partes.

Tipos de números periódicos

• Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras repetitivas hasta el infinito.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 34,555\dots =34,{\overset {\frown }{5}}}$ , donde 5 es la cifra que se repite infinitamente.
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí lo hacen.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 1,91222\dots =1,91{\overset {\frown }{2}}}$ , donde 91 son las cifras que no se repiten pero sí lo hace el 2.
  • decimal periódico exacto:tiene un número limitado de cifras decimales.
  • Por ejemplo: 17/4 = 4,25

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,074074074074...\\{\cfrac {7}{12}}=0,583333333333...\end{array}}}$ 

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}x&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\10x-x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\end{array}}}$ 

${\displaystyle 10x-x=3\;,\quad 9x=3\;,\quad x={\cfrac {3}{9}}\;,\quad x={\cfrac {1}{3}}\;,\quad {\text{(simplificando)}}}$ 

Otro ejemplo:

${\displaystyle x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571\cdot 18}{550\cdot 18}}={\frac {1571}{550}}}$ 

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

${\displaystyle 11,36\ 36\dots ={\frac {1136-11}{99}}={\frac {1125}{99}}}$ 

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

${\displaystyle 12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}}$ 

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, estos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}}$ 

como:

${\displaystyle 20=2\cdot 2\cdot 5}$ 

será exacta; en efecto

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35}$ 

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}}$ 

como:

${\displaystyle 25=5\cdot 5}$ 

será exacta; en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}\;{\cfrac {2\cdot 2}{2\cdot 2}}={\cfrac {7\cdot 2\cdot 2}{(5\cdot 2)(5\cdot 2)}}={\cfrac {28}{100}}=0,28}$ 

• Si al descomponer el denominador en factores primos, estos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {5}{21}}}$ 

como:

${\displaystyle 21=3\cdot 7}$ 

será periódica pura; en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {5}{21}}=0,238095\ 238095\ 238095\dots }$ 

• Si al descomponer el denominador en factores primos, estos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {5}{42}}}$ 

como:

${\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7}$ 

será periódica mixta, en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {5}{42}}=0,1\ 190476\ 190476\ 1904767\dots }$ 

Véase también

• 0,9 periódico
• Representación decimal

Clasificación de los números Complejos ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$  Reales ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$  Racionales ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$  Enteros ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$  Naturales ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$  uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

• Número no periódico

Referencias

• Jiménez Hernández, José de Jesús. Matemáticas 1. Ediciones Umbral. p. 66. 
• Weisstein, Eric W. «Repeating Decimal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q389208

muchas gracia wiki pedia me ayudaste mucho besosoos