En matemáticas, y concretamente en álgebra lineal, una matriz es de diagonal estrictamente dominante, cuando lo es por filas o por columnas.
Lo es por filas cuando, para todas las filas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa fila es estrictamente mayor que la norma del resto de elementos de esa fila.
Lo es por columnas cuando, para todas las columnas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa columna es estrictamente mayor que la norma del resto de elementos de esa columna.
Formalmente, se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante por filas cuando se satisface:
Si es una matriz de diagonal estrictamente dominante, entonces es invertible.
Demostración
Por Contrarrecíproco. Supongamos que no es invertible, entonces su núcleo no se reduce a cero existe entonces un vector : tal que . Entonces, se tiene que: Como , existe tal que . Tenemos : , de donde , y como : , se obtiene Finalmente, , con lo que culmina la demostración.
Podemos enunciar a partir de esta definición el siguiente teorema de convergencia aplicable a los procesos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel:
Sea A una matriz cuadrada, si A es diagonal dominante, los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b.
Datos:Q27212903
Enero 09, 2022
matriz, diagonal, estrictamente, dominante, este, artículo, sección, necesita, referencias, aparezcan, publicación, acreditada, este, aviso, puesto, enero, 2009, matemáticas, concretamente, álgebra, lineal, matriz, diagonal, estrictamente, dominante, cuando, f. Este articulo o seccion necesita referencias que aparezcan en una publicacion acreditada Este aviso fue puesto el 18 de enero de 2009 En matematicas y concretamente en algebra lineal una matriz es de diagonal estrictamente dominante cuando lo es por filas o por columnas Lo es por filas cuando para todas las filas el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa fila es estrictamente mayor que la norma del resto de elementos de esa fila Lo es por columnas cuando para todas las columnas el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa columna es estrictamente mayor que la norma del resto de elementos de esa columna Formalmente se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante por filas cuando se satisface a i i gt j 1 j i n a i j i N 1 i n displaystyle a i i gt sum j 1 j neq i n a i j forall i in mathbb N 1 leq i leq n Lema de Hadamard EditarEnunciado Editar Si A a i j i j 1 n displaystyle A a i j i j in 1 n es una matriz de diagonal estrictamente dominante entonces A displaystyle A es invertible Demostracion Editar Por Contrarreciproco Supongamos que A displaystyle A no es invertible entonces su nucleo no se reduce a cero existe entonces un vector X x 1 x 2 x n 0 displaystyle X begin pmatrix x 1 x 2 vdots x n end pmatrix neq 0 tal que A X 0 displaystyle AX 0 Entonces se tiene que i 1 n j 1 n a i j x j 0 displaystyle forall i in 1 n sum j 1 n a i j x j 0 Como X 0 displaystyle X neq 0 existe x i 0 0 displaystyle x i 0 neq 0 tal que x i 0 max x i i 1 n displaystyle x i 0 max left x i i in 1 n right Tenemos a i 0 i 0 x i 0 j 1 j i 0 n a i 0 j x j displaystyle a i 0 i 0 x i 0 sum j 1 atop j neq i 0 n a i 0 j x j de donde a i 0 i 0 x i 0 j 1 j i 0 n a i 0 j x j displaystyle a i 0 i 0 x i 0 leqslant sum j 1 atop j neq i 0 n a i 0 j x j y como j 1 n x j x i 0 1 displaystyle forall j in 1 n frac x j x i 0 leqslant 1 se obtiene a i 0 i 0 j 1 j i 0 n a i 0 j x j x i 0 j 1 j i 0 n a i 0 j displaystyle a i 0 i 0 leqslant sum j 1 atop j neq i 0 n a i 0 j frac x j x i 0 leqslant sum j 1 atop j neq i 0 n a i 0 j Finalmente a i 0 i 0 j 1 j i 0 n a i 0 j displaystyle a i 0 i 0 leqslant sum j 1 atop j neq i 0 n a i 0 j con lo que culmina la demostracion Podemos enunciar a partir de esta definicion el siguiente teorema de convergencia aplicable a los procesos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel Sea A una matriz cuadrada si A es diagonal dominante los metodos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel convergen a la solucion del sistema de ecuaciones Ax b Datos Q27212903 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Matriz de diagonal estrictamente dominante amp oldid 129787793, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,