Lógica clásica

Una lógica clásica o lógica estándar^[1]​^[2]​ es un sistema formal que respeta los siguientes principios:

• Principio del tercero excluido
• Principio de no contradicción
• Principio de explosión
• Monotonicidad de la implicación

Los ejemplos más comunes de lógicas clásicas son la lógica proposicional, la lógica de primer orden y la lógica de segundo orden.

Las lógicas clásicas son los sistemas formales más estudiados y utilizados de todos.

Principios

Principio del tercero excluido

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El principio del tercero excluido, propuesto y formalizado por Aristóteles, también llamado principio del tercero excluso o en latín principium tertii exclusi (también conocido como tertium non datur o una tercera (cosa) no se da), es un principio de lógica clásica según el cual si existe una proposición que afirma algo, y otra que lo contradice, una de las dos debe ser verdadera, y una tercera opción no es posible.^[3]​ Por ejemplo, es verdad que "es de día o no es de día", y que "el Sol está ardiendo o no está ardiendo". El principio del tercero excluido frecuentemente se confunde con el principio de bivalencia, según el cual toda proposición o bien es verdadera o bien es falsa.^[4]​^[5]​ El principio del tercero excluido es, junto con el principio de no contradicción y el principio de identidad, una de las leyes clásicas del pensamiento.^[6]​

En la lógica proposicional, el principio del tercero excluido se expresa:

${\displaystyle (A\lor \neg A)}$ 

donde A no es una fórmula del lenguaje, sino una metavariable que representa a cualquier fórmula del lenguaje.

En la lógica aristotélica, se distingue entre juicios contradictorios y juicios contrarios. Dados dos juicios contradictorios, no puede darse un juicio intermedio, pero sí en cambio entre dos juicios contrarios. Por ejemplo, si se afirma "Juan es bueno" y "esta proposición es verdadera", entonces los juicios contradictorios son "Juan no es bueno" y "esta proposición no es verdadera", y no hay posibilidad de un juicio intermedio. Pero en cambio, los juicios contrarios son Juan es malo y esta proposición es falsa, y entonces sí cabe la posibilidad de otros juicios intermedios, como "Juan es más o menos bueno" y "esta proposición es probablemente falsa".^[7]​

Según Stuart Mill, la frase "abracadabra es una segunda intención" no es ni verdadera ni falsa, sino que carece de sentido.^[8]​

La negación del principio del tercero excluido de un sistema lógico da lugar a las llamadas lógicas polivalentes.

tampoco puede darse un término intermedio entre los contradictorios, sino que necesariamente se ha de afirmar o negar uno de ellos, sea el que sea, de una misma cosa.

Aristóteles, Metafísica, 1011b23-24

Principio de no contradicción

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Expresión formal del principio.

El principio de no contradicción (PNC), o a veces llamado principio de contradicción, ley de la contradicción^[9]​ o ley de no contradicción^[10]​, es un principio clásico de la lógica y la filosofía, según el cual una proposición ${\displaystyle (A)}$  y su negación ${\displaystyle (\neg A)}$  no pueden ser ambas verdaderas al mismo tiempo y en el mismo sentido.^[11]​ El principio también tiene una versión ontológica: nada puede ser y no ser al mismo tiempo y en el mismo sentido; y una versión doxástica: nadie puede creer al mismo tiempo y en el mismo sentido una proposición y su negación.^[12]​ El principio de no contradicción es, junto con el principio de identidad y el principio del tercero excluido, una de las leyes clásicas del pensamiento lógico.^[13]​ Aristóteles, quien fue uno de los primeros en formularlo, lo consideró como el "primer principio", pues de él surgen los demás.^[12]​

El principio de no contradicción puede expresarse en el lenguaje de la lógica proposicional. Si A es una metavariable que representa una fórmula cualquiera, entonces el principio de no contradicción se expresa como tautología:

${\displaystyle \neg (A\land \neg A)}$  es verdadera.

El principio de no contradicción permite juzgar como falso todo aquello que implica una contradicción. De ahí la validez de los argumentos por reducción al absurdo.

Principio de explosión

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El principio de explosión es un principio de la lógica clásica y de algunos otros sistemas lógicos (por ejemplo, la lógica intuicionista) según el cual de una proposición contradictoria se puede deducir cualquier otra proposición. Al principio de explosión también se le conoce por medio de las locuciones latinas ex falso quodlibet y ex contradictione (sequitur) quodlibet, que significan «de lo falso (se sigue) cualquier cosa» y «de una contradicción (se sigue) cualquier cosa», respectivamente.

En otras palabras, todo es demostrable cuando se tiene una contradicción. A los sistemas que de alguna manera evitan esta consecuencia, se los llama sistemas no explosivos, por ejemplo las lógicas paraconsistentes. Un ejemplo de un razonamiento, según el principio de explosión, podría ser:

1. El Sol es una estrella y no es una estrella.
2. Por lo tanto, la Luna está hecha de queso.

Las consecuencias obviamente indeseables del principio de explosión son una fuerte razón para querer evitar los sistemas lógicos y formales inconsistentes.

El principio de explosión se puede expresar formalmente como:

${\displaystyle {\frac {A\land \neg A}{B\quad \quad }}}$ 

O en la notación del cálculo de secuentes:

${\displaystyle A\land \neg A\vdash B}$ 

donde A y B son metavariables que pueden ser reemplazadas por cualquier proposición o fórmula.

Monotonicidad de la implicación

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La monotonicidad de la implicación es una propiedad de muchos sistemas lógicos que afirma que las hipótesis de cualquier hecho derivado pueden extenderse libremente con supuestos adicionales. En el cálculo secuencial esta propiedad puede ser captada por una regla de inferencia llamada debilitamiento, a veces adelgazamiento, y en tales sistemas se puede decir que la implicación es monótona, sí y solamente sí, la regla fuera admisible. Los sistemas lógicos con esta propiedad son ocasionalmente llamados lógicas monotónicas con el fin de diferenciarlos de lógicas no monótonas.

Ejemplos de lógicas clásicas

Lógica proposicional

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La lógica proposicional, también llamada lógica de enunciados, lógica de orden cero o cálculo proposicional, es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones o enunciados, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.^[14]​

Las lógicas proposicionales carecen de cuantificadores o variables de individuo, pero tienen variables proposicionales (es decir, que se pueden interpretar como proposiciones con un valor de verdad definido), de ahí el nombre proposicional. Los sistemas de lógica proposicional incluyen además conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica se puede analizar la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.^[15]​

Como las lógicas proposicionales no tienen cuantificadores o variables de individuo, cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada admite una valoración en la proposición es verdadera o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. Esto implica que cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en un número finito de pasos se puede determinar la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica proposicional sea completa y con una semántica muy sencilla.

Lógica de primer orden

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Una lógica de primer orden, también llamada lógica predicativa, lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.^[16]​ Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan solo a variables de individuo, y con predicados y funciones cuyos argumentos son solo constantes o variables de individuo.^[17]​

La lógica de primer orden tiene un poder expresivo superior al de la lógica proposicional.

Lógica de segundo orden

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Una lógica de segundo orden es una extensión de una lógica de primer orden en la que se añaden variables que representan propiedades, funciones y relaciones, y cuantificadores que operan sobre esas variables.^[18]​ Así se expande el poder expresivo del lenguaje sin tener que agregar nuevos símbolos lógicos.^[18]​

Semántica generalizada

Con la llegada de la lógica algebraica se hizo evidente que la lógica proposicional clásica admite otras semánticas lingüísticas. En los valores semánticos de Boole (para la lógica proposicional clásica), los valores de verdad son los elementos de una álgebra arbitraria; "cierto" corresponde al elemento máximo del álgebra, y "falso" corresponde al elemento mínimo. Los elementos intermedios del álgebra corresponden a la verdad valora otro que "cierto" y "falso". La lógica binaria es válida sólo cuando el álgebra de Boole se toma como el álgebra de dos elementos, que no posee elementos intermedios.

Lógicas no clásicas

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Una lógica no clásica o lógica alternativa es un sistema formal que difiere de manera significativa de las lógicas clásicas. Hay varias formas de hacerlo, incluyendo a modo de extensiones, desviaciones, y variaciones, por ejemplo, rechazando uno o varios de los principios de la lógica clásica. El objetivo de estas desviaciones es para hacer posible construir distintos modelos de consecuencia lógica y verdad lógica.

La lógica filosófica, especialmente en la ciencia computacional teórica, se usa para abarcar y centrarse en las lógicas no clásicas, a pesar de que el término tiene otros significados también.^[19]​

Algunos ejemplos de lógicas no clásicas son:

• Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.
• Lógica relevante: Es una lógica paraconsistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.
• Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.
• Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias de esa teoría se reduzca.
• Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.

Referencias

1. The Blackwell dictionary of Western philosophy. Wiley-Blackwell. 2004. p. 266. ISBN 978-1-4051-0679-5. 
2. Gamut, L. T. F. (1991). Logic, language, and meaning, Volume 1: Introduction to Logic. University of Chicago Press. pp. 156-157. ISBN 978-0-226-28085-1. 
3. Moreno Villa, Mariano. Filosofia del lenguaje, lógica, filosofia del lenguaje y metafísica. MAD-Eduforma. p. 229. ISBN 978-84-665-0536-9. Consultado el 31 de mayo de 2020. 
4. Robert Audi (ed.). «principle of excluded middle». The Cambridge Dictionary of Philosophy (en inglés) (2nd Edition edición). Cambridge University Press. 
5. Ted Honderich (ed.). «law of excluded middle». The Oxford Companion to Philosophy (en inglés). Oxford University Press. 
6. Robert Audi (ed.). «laws of thought». The Cambridge Dictionary of Philosophy (en inglés) (2nd edition edición). Cambridge University Press. 
7. Correia, Manuel (2010). «La actualidad de la lógica de Aristóteles». Revista filosófica (Santiago). 
8. Vaz Ferreira, Carlos (1983). Lógica viva. Montevideo, Uruguay: Técnica. p. 92. 
9. «Ley de contradicción». www.filosofia.org. Consultado el 27 de agosto de 2020. 
10. McDowell, Josh (2016). Nueva evidencia que demanda un veredicto. Editorial Mundo Hispano. p. 690. ISBN 978-0-311-05048-2. Consultado el 27 de agosto de 2020. 
11. Robert Audi (ed.). «principle of contradiction». The Cambridge Dictionary of Philosophy (en inglés) (2nd edition edición). Cambridge University Press. 
12. Gottlieb, Paula. «Aristotle on Non-contradiction». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2008 Edition edición). Consultado el 5 de noviembre de 2009. 
13. Robert Audi (ed.). «laws of thought». The Cambridge Dictionary of Philosophy (en inglés) (2nd edition edición). Cambridge University Press. 
14. Simon Blackburn (ed.). «propositional calculus». Oxford Dictionary of Philosophy (en inglés). Oxford University Press. Consultado el 13 de agosto de 2009. 
15. Klement, Kevin C. «Propositional Logic». Internet Encyclopedia of Philosophy (en inglés). Consultado el 6 de febrero de 2012. 
16. Simon Blackburn (ed.). «first-order logic». The Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. Consultado el 10 de septiembre de 2009. 
17. Simon Blackburn (ed.). «first-order language». The Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. Consultado el 10 de septiembre de 2009. 
18. Enderton, Herbert B. «Second-order and Higher-order Logic». En Edward N. Zalta, ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Spring 2009 Edition edición). Consultado el 7 de octubre de 2009. 
19. Burgess, John P. (2009). Philosophical logic. Princeton University Press. pp. vii-viii. ISBN 978-0-691-13789-6. 

Lectura recomendada

• Graham Sacerdote, Una Introducción a Lógica No Clásica: De Si a Es, 2.ª Edición, TAZA, 2008, ISBN 978-0-521-67026-5
• Warren Goldfard, "Deductive Lógica", 1.ª edición, 2003, ISBN 0-87220-660-2

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