En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.
Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.
Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:
El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Integral de línea de un campo escalar
Integral de línea de un campo escalar
Definición
Sea una curva suave a trozos parametrizada por una función , si es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar sobre (también llamada integral de trayectoria), está definida como
La función es una parametrizaciónbiyectiva arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente.
En particular, cuando entonces obtenemos la longitud de la curva , esto es
Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de , esto es, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
Interpretación
Geométricamente, cuando el campo escalar está definida sobre el plano , su gráfica es una superficie en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valle entre la base de la imagen de y la gráfica de .
Deducción
Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann.
Comencemos subdividiendo el intervalo por medio de la partición
lo anterior conduce a una descomposición de en trayectorias definidas en el intervalo para , si denotamos la longitud de arco de por entonces
Cuando , es decir, es grande, la longitud de arco es pequeña y es aproximadamente constante para puntos en . Consideremos las sumas
Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio es , es decir, buscamos hallar
siendo la longitud de una circunferencia de radio .
Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es
Dado que
Por lo tanto
Integral de línea de un campo vectorial
Definición
Sean un campo vectorial continuo en una región y una curva suave a trozos parametrizada por una función , la integral de línea del campo vectorial sobre en la dirección de , está definida como
Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de , no son independientes de la orientación de , para este tipo de integrales, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
Relación con las integrales de línea de campos escalares
Para trayectorias que satisfagan si
denota un vector tangente unitario a entonces
donde , por lo tanto
Forma diferencial
Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que es un campo vectorial en de la forma y es una curva parametrizada por entonces
Decimos que la expresión es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en .
Integrales de línea sobre curvas cerradas
Si es una curva cerrada simple entonces es común la notación
y para la forma diferencial
Teorema fundamental de las integrales de línea
Campo vectorial conservativo
Sea una función continua en la región , decimos que es un campo vectorial conservativo en si existe tal que , en este caso decimos que es un campo potencial de .
Teorema
Si es un campo vectorial conservativo en y una curva suave a trozos parametrizada por una función entonces
En particular, si es una curva orientada cerrada y simple
Lo anterior dice que cuando es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización. En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si) es un campo vectorial conservativo.
Integrales de línea en el plano complejo
En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que es una región abierta en el plano complejo, es una función y es una curva de longitud finita parametrizada por
donde
Si la parametrización es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:
Integral de línea de un campo vectorial (inglés) - Interactivo - Explicaciones Gráficas
Datos:Q467699
Multimedia:Line integral
Abril 05, 2022
integral, línea, matemáticas, integral, línea, aquella, integral, cuya, función, integrar, evaluada, sobre, curva, términos, integral, curva, integral, curvilínea, integral, trayectoria, también, usados, integral, contorno, también, usado, aunque, este, términ. En matematicas una integral de linea es aquella integral cuya funcion a integrar es evaluada sobre una curva Los terminos integral de curva integral curvilinea e integral de trayectoria tambien son usados integral de contorno tambien es usado aunque este termino es tipicamente usado para integrales de linea en el plano complejo Trayectoria de una particula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial En la parte inferior estan los vectores del campo vistos por la particula a medida que viaja por la curva La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de linea La funcion a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial tambien llamadas funcion escalar y funcion vectorial respectivamente Ejemplos practicos de aplicacion de las integrales de linea pueden ser El calculo de la longitud de una curva en el espacio El calculo del trabajo que se realiza para mover algun objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas descritos por campos vectoriales que actuen sobre el mismo Indice 1 Integral de linea de un campo escalar 1 1 Definicion 1 2 Interpretacion 1 3 Deduccion 1 4 Ejemplo 1 1 5 Ejemplo 2 2 Integral de linea de un campo vectorial 2 1 Definicion 2 2 Relacion con las integrales de linea de campos escalares 2 3 Forma diferencial 2 4 Integrales de linea sobre curvas cerradas 3 Teorema fundamental de las integrales de linea 3 1 Campo vectorial conservativo 3 2 Teorema 4 Integrales de linea en el plano complejo 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosIntegral de linea de un campo escalar Editar Integral de linea de un campo escalar Definicion Editar Sea C R n displaystyle C subset mathbb R n una curva suave a trozos parametrizada por una funcion r a b R n displaystyle mathbf r a b rightarrow mathbb R n si f C R displaystyle f C rightarrow mathbb R es un campo escalar continuo la integral de linea del campo escalar f displaystyle f sobre C displaystyle C tambien llamada integral de trayectoria esta definida como C f d s a b f r t r t d t displaystyle int C f ds int a b f mathbf r t mathbf r t dt La funcion r a b R n displaystyle mathbf r a b rightarrow mathbb R n es una parametrizacion biyectiva arbitraria de C displaystyle C donde r a displaystyle mathbf r a y r b displaystyle mathbf r b son los puntos iniciales y finales respectivamente En particular cuando f 1 displaystyle f 1 entonces obtenemos la longitud de la curva C displaystyle C esto es L C C d s a b r t d t displaystyle L C int C ds int a b mathbf r t dt Las integrales de linea de campos escalares son independientes de la parametrizacion de C displaystyle C porque solo depende de la longitud del arco y lo son tambien de la orientacion de C displaystyle C esto es si C displaystyle C es una curva simple orientada y C displaystyle C denota la misma curva pero con orientacion opuesta entonces C f d s C f d s displaystyle int C f ds int C f ds Interpretacion Editar Geometricamente cuando el campo escalar f displaystyle f esta definida sobre el plano n 2 displaystyle n 2 su grafica es una superficie z f x y displaystyle z f x y en el espacio por lo que la integral de linea se interpreta como el area de una valle entre la base de la imagen de C displaystyle C y la grafica de f displaystyle f Deduccion Editar Para motivar la definicion de la integral de linea sobre un campo escalar consideremos sumas de Riemann S N displaystyle S N Comencemos subdividiendo el intervalo a b displaystyle a b por medio de la particion a t 0 lt t 1 lt lt t N b displaystyle a t 0 lt t 1 lt cdots lt t N b lo anterior conduce a una descomposicion de r displaystyle mathbf r en trayectorias r i displaystyle mathbf r i definidas en el intervalo t i t i 1 displaystyle t i t i 1 para i 0 1 N 1 displaystyle i 0 1 dots N 1 si denotamos la longitud de arco de r i displaystyle mathbf r i por D s i displaystyle Delta s i entonces D s i t i t i 1 r t d t displaystyle Delta s i int t i t i 1 mathbf r t dt Cuando N displaystyle N to infty es decir N displaystyle N es grande la longitud de arco D s i displaystyle Delta s i es pequena y f displaystyle f es aproximadamente constante para puntos en r i displaystyle mathbf r i Consideremos las sumas S N i 0 N 1 f r t D s i displaystyle S N sum i 0 N 1 f left mathbf r t right Delta s i donde r t displaystyle mathbf r t esta definida para t t i t i 1 displaystyle t in t i t i 1 Por el teorema del valor medio D s i r f i D t i displaystyle Delta s i mathbf r varphi i Delta t i donde t i f i t i 1 displaystyle t i leq varphi i leq t i 1 y D t i t i 1 t i displaystyle Delta t i t i 1 t i A partir de la teoria de sumas de Riemann puede demostrarse que lim N S N lim N i 0 N 1 f r t r f i D t i a b f r t r t d t C f d s displaystyle begin aligned lim N to infty S N amp lim N to infty sum i 0 N 1 f left mathbf r t right mathbf r varphi i Delta t i amp int a b f mathbf r t mathbf r t dt amp int C fds end aligned Ejemplo 1 Editar Se desea evaluar la integral de linea C x 2 y 2 z 2 d s displaystyle int C x 2 y 2 z 2 ds sobre la helice r 0 2 p R 3 displaystyle mathbf r 0 2 pi to mathbb R 3 t cos t sen t t displaystyle t mapsto cos t operatorname sen t t En primer lugar notemos que r t sen t cos t 1 displaystyle mathbf r t operatorname sen t cos t 1 por lo que r t sen t 2 cos 2 t 1 2 sen 2 t cos 2 t 1 2 displaystyle begin aligned mathbf r t amp sqrt operatorname sen t 2 cos 2 t 1 2 amp sqrt operatorname sen 2 t cos 2 t 1 amp sqrt 2 end aligned y como f r t cos 2 t sen 2 t t 2 1 t 2 displaystyle begin aligned f mathbf r t amp cos 2 t operatorname sen 2 t t 2 amp 1 t 2 end aligned entonces C x 2 y 2 z 2 d s 0 2 p 1 t 2 2 d t 2 t t 3 3 0 2 p 2 2 p 3 4 p 2 3 displaystyle begin aligned int C x 2 y 2 z 2 ds amp int 0 2 pi 1 t 2 sqrt 2 dt amp sqrt 2 left t frac t 3 3 right bigg 0 2 pi amp frac 2 sqrt 2 pi 3 4 pi 2 3 end aligned Ejemplo 2 Editar Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio r displaystyle r es 2 p r displaystyle 2 pi r es decir buscamos hallar C d s displaystyle oint C ds siendo C displaystyle C la longitud de una circunferencia de radio r displaystyle r Por simplicidad consideremos una circunferencia de radio r displaystyle r centrada en el origen por lo que una posible parametrizacion es r t r cos t r sen t 0 t 2 p displaystyle mathbf r t r cos t r operatorname sen t qquad 0 leq t leq 2 pi Dado que r t r sen t r cos t r t r 2 sen 2 t r 2 cos 2 t r 2 sen 2 t cos 2 t r displaystyle begin aligned mathbf r t amp r operatorname sen t r cos t mathbf r t amp sqrt r 2 operatorname sen 2 t r 2 cos 2 t amp sqrt r 2 left operatorname sen 2 t cos 2 t right amp r end aligned Por lo tanto L C C d s 0 2 p r d t 2 p r displaystyle begin aligned L C amp oint C ds amp int 0 2 pi rdt amp 2 pi r end aligned Integral de linea de un campo vectorial EditarDefinicion Editar Sean F U R n displaystyle mathbf F U rightarrow mathbb R n un campo vectorial continuo en una region U R n displaystyle U subset mathbb R n y C U displaystyle C subset U una curva suave a trozos parametrizada por una funcion r a b R n displaystyle mathbf r a b rightarrow mathbb R n la integral de linea del campo vectorial F displaystyle mathbf F sobre C displaystyle C en la direccion de r displaystyle mathbf r esta definida como C F d r a b F r t r t d t displaystyle int C mathbf F cdot d mathbf r int a b mathbf F mathbf r t cdot mathbf r t dt donde displaystyle cdot es el producto escalar y la funcion r a b R n displaystyle mathbf r a b rightarrow mathbb R n es una parametrizacion biyectiva arbitraria de C displaystyle C donde r a displaystyle r a y r b displaystyle r b son los puntos iniciales y finales respectivamente Las integrales de linea de campos vectoriales solo son independientes de la parametrizacion de C displaystyle C no son independientes de la orientacion de C displaystyle C para este tipo de integrales si C displaystyle C es una curva simple 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T ds amp int C f ds end aligned donde f F T displaystyle f mathbf F cdot mathbf T por lo tanto C F d r C F T d s displaystyle int C mathbf F cdot d mathbf r int C mathbf F cdot mathbf T ds Forma diferencial Editar Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de linea de un campo vectorial es la siguiente Considere que F displaystyle mathbf F es un campo vectorial en R 2 displaystyle mathbb R 2 de la forma F x y M N displaystyle mathbf F x y left M N right y C displaystyle C es una curva parametrizada por r t x t y t a t b displaystyle mathbf r t left x t y t right a leq t leq b entonces C F d r C F d r d t d t a b M N d x d t d y d t d t a b M d x d t N d y d t d t C M d x N d y displaystyle begin aligned int C mathbf F cdot d mathbf r amp int C mathbf F cdot frac d mathbf r dt dt amp int a b M N cdot left frac dx dt frac dy dt right dt amp int a b left M frac dx dt N frac dy dt right dt amp int C M dx N dy end aligned Decimos que la expresion M d x N d y displaystyle M dx N dy es una forma diferencial Esta otra notacion puede extenderse a campos vectoriales en R 3 displaystyle mathbb R 3 Integrales de linea sobre curvas cerradas Editar Si C displaystyle C es una curva cerrada simple entonces es comun la notacion C F d r displaystyle oint C mathbf F cdot d mathbf r y para la forma diferencial C M d x N d y displaystyle oint C M dx N dy Teorema fundamental de las integrales de linea EditarCampo vectorial conservativo Editar Sea F U R n displaystyle mathbf F U rightarrow mathbb R n una funcion continua en la region U R n displaystyle U subset mathbb R n decimos que F displaystyle mathbf F es un campo vectorial conservativo en U displaystyle U si existe f U R displaystyle f U rightarrow mathbb R tal que F f displaystyle mathbf F nabla f en este caso decimos que f displaystyle f es un campo potencial de F displaystyle mathbf F Teorema Editar Si F U R n displaystyle mathbf F U rightarrow mathbb R n es un campo vectorial conservativo en U R n displaystyle U subset mathbb R n y C U displaystyle C subset U una curva suave a trozos parametrizada por una funcion r a b R n displaystyle mathbf r a b rightarrow mathbb R n entonces C F d r C f d r f r b f r a displaystyle int C mathbf F cdot d mathbf r int C nabla f cdot d mathbf r f mathbf r b f mathbf r a En particular si C displaystyle C es una curva orientada cerrada y simple C F d r C f d r 0 displaystyle oint C mathbf F cdot d mathbf r oint C nabla f cdot d mathbf r 0 Lo anterior dice que cuando F displaystyle mathbf F es un campo vectorial conservativo la integral de linea de dicho campo solo dependera de los puntos extremos de la parametrizacion r displaystyle mathbf r En otras palabras si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final seguiremos obteniendo el mismo resultado Por lo tanto decimos que la integral de linea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si y solo si F displaystyle mathbf F es un campo vectorial conservativo Integrales de linea en el plano complejo EditarEn analisis complejo la integral de linea esta definida en terminos de la multiplicacion y adicion de numeros complejos Supongase que U C displaystyle U subset mathbb C es una region abierta en el plano complejo f U C displaystyle f U rightarrow mathbb C es una funcion y L U displaystyle L subset U es una curva de longitud finita parametrizada por g a b L displaystyle gamma a b rightarrow L donde g t x t i y t displaystyle gamma t x t iy t Si la parametrizacion g displaystyle gamma es continuamente diferenciable entonces la integral de linea puede ser evaluada como una integral de una funcion de variable real L f z d z a b f g t g t d t displaystyle int L f z dz int a b f left gamma t right gamma t dt Cuando f displaystyle f es analitica la integral de linea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy Goursat la formula integral de Cauchy y el teorema de Liouville cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del algebra Vease tambien EditarEcuacion parametrica Teorema del gradiente Integral de superficie Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema de GaussReferencias EditarEnlaces externos EditarIntegral de linea de un campo vectorial ingles Interactivo Explicaciones Graficas Datos Q467699 Multimedia Line integral Obtenido de https es wikipedia org w index php title Integral de linea amp oldid 141775407, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,