Fórmula integral de Cauchy

En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy es un resultado fundamental en análisis complejo. La designación hace honor al matemático Augustin Louis Cauchy.

La fórmula expresa el hecho de que una función holomórfica definida en un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco, y proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomórfica. La fórmula de Cauchy muestra que, en el análisis complejo, "la diferenciación es equivalente a la integración": la diferenciación compleja, como la integración, se comporta bien bajo límites uniformes, un resultado que no se sostiene en el análisis real.

Teorema

Sea ${\displaystyle U}$  un subconjunto abierto en el plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} }$  y suponga que el disco cerrado ${\displaystyle D}$  definido por

${\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|\leq r\}}$ 

está completamente contenido en ${\displaystyle U}$ . Sean ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$  una función holomorfa, esto es ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}(U)}$ , y ${\displaystyle \gamma }$  el círculo orientado, en sentido antihorario, que forma la frontera de ${\displaystyle D}$  entonces para cualquier ${\displaystyle a}$  en el interior de ${\displaystyle D}$ 

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\;dz}$ 

La demostración de este resultado usa el teorema integral de Cauchy y necesita que ${\displaystyle f}$  sea diferenciable en el plano complejo. Dado que ${\displaystyle 1/(z-a)}$  puede ser expandido como una serie de potencias en la variable ${\displaystyle a}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\left(1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots \right)}$ 

entonces se sigue que las funciones holomorfas son analíticas, es decir, pueden ser expandidas como series de potencias. En particular ${\displaystyle f}$  es infinitamente diferenciable con

${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\;dz}$ 

En ocasiones esta fórmula es conocida como fórmula de diferenciación de Cauchy.

Ejemplo

 

Superficie de la parte real de la función g(z) = z²/z² + 2z + 2 y sus singularidades, con los contornos descriptos en el texto.

Sea

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$ 

y se define a C como el contorno definido por |z| = 2 (el círculo de radio 2).

Para hallar la integral de g(z) alrededor del contorno C, se deben conocer las singularidades de g(z). Observe que se puede reescribir g de la siguiente manera:

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$ 

donde z₁ = −1 + i y z₂ = −1 − i.

Por lo tanto, g tiene polos en z₁ y z₂. El módulo de estos puntos es menor que 2 y por lo tanto se encuentra dentro del contorno. Esta integral se puede dividir en dos integrales más pequeñas aplicando el teorema de Cauchy–Goursat; es decir, se puede expresar la integral alrededor del contorno como la suma de la integral alrededor de z₁ y z₂ donde el contorno es un círculo pequeño alrededor de cada polo. Si se denomina a estos contornos C₁ alrededor de z₁ y C₂ alrededor de z₂.

Ahora, cada una de estas integrales pequeñas puede ser evaluada mediante la fórmula integral de Cauchy, pero antes deben ser reescritas para poder aplicar el teorema. Para la integral alrededor de C₁, define f₁ como f₁(z) = (z − z₁)g(z). Esta es analítica (dado que el contorno no contiene la otra singularidad). Se puede simplificar f₁ obteniendo:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$ 

y entonces

${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$ 

Dado que el teorema integral de Cauchy establece que:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$ 

se puede evaluar la integral de la siguiente manera:

${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$ 

Realizando de manera similar para el otro contorno:

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$ 

se evalúa

${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$ 

La integral alrededor del contorno original C entonces es la suma de estas dos integrales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$ 

Recurriendo a un truco elemental usando la descomposición en fracciones simples:

${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$ 

Consecuencias

La fórmula integral tiene amplias aplicaciones. Primero, implica que una función que es holomórfica en un conjunto abierto es de hecho infinitamente diferenciable allí. Además, es una función analítica, lo que significa que se puede representar como una serie de potencias. La prueba de esto usa el teorema de convergencia dominado y la serie geométrica aplicada a

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$ 

La fórmula también se usa para probar el teorema del residuo, que es un resultado para funciones meromórficas, y un resultado relacionado, el principio de argumento. Se sabe por el teorema de Morera que el límite uniforme de funciones holomórficas es holomórfico. Esto también se puede deducir de la fórmula integral de Cauchy: de hecho, la fórmula también se cumple en el límite y el integrando, y por lo tanto la integral, se puede expandir como una serie de potencias. Además, las fórmulas de Cauchy para las derivadas de orden superior muestran que todas estas derivadas también convergen de manera uniforme.

El análogo de la fórmula integral de Cauchy en análisis real es la fórmula integral de Poisson para funciones armónicas; muchos de los resultados de las funciones holomórficas se trasladan a este escenario. Sin embargo, tales resultados no son válidos para clases más generales de funciones analíticas diferenciables o reales. Por ejemplo, la existencia de la primera derivada de una función real no implica necesariamente la existencia de derivadas de orden superior ni, en particular, la analiticidad de la función. Asimismo, el límite uniforme de una secuencia de funciones diferenciables (reales) puede no ser diferenciable, o puede ser diferenciable pero con una derivada que no es el límite de las derivadas de los miembros de la secuencia.

Referencias

Véase también

• Teorema integral de Cauchy
• Ecuaciones de Cauchy-Riemann
• Teorema de Morera
• Función de Green
• Fórmula integral de Schwarz

Bibliografía adicional

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (en inglés) (3rd edición). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. .
• Pompeiu, D. (1905). «Sur la continuité des fonctions de variables complexes». Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Série 2 (en francés) 7 (3): 265-315. 
• Titchmarsh, E. C. (1939). Theory of functions (en inglés) (2nd edición). Oxford University Press. 
• Hörmander, Lars (1966). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (en inglés). Van Nostrand. 
• Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (en inglés). Springer. ISBN 3-540-12104-8. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Cauchy Integral Formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q913764