En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple y una integral doble sobre la región plana limitada por . El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes.
Teorema
Sean una región simple cuya frontera es una curva suave a trozos orientada en sentido positivo, si es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a entonces
donde .
Demostración cuando es una región simple
Si es una región simple con su límite consistente en las curvas , , , , la mitad del teorema de Green puede ser demostrada.
Lo siguiente es una demostración de la mitad del teorema para la región , se demostrará cuando es una región tipo I donde y son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Una demostración similar existe para la otra parte del teorema cuando se considera a como una región tipo II donde y son curvas conectadas por curvas horizontalmente (y otra vez, posiblemente de longitud cero). Considerando estas dos partes, uno demuestra el teorema para una región de tipo III (definida como una región que es tanto de tipo I como de tipo II).
Puede demostrarse que si
y
son ciertas entonces el teorema de Green queda demostrado para la región . Podemos probar la primera igualdad para regiones de tipo I y la segunda para regiones de tipo II con lo que el teorema de Green es válido para regiones de tipo III.
Si suponemos que es una región de tipo I entonces queda descrita como
donde y son funciones continuas en . Calculando la integral doble de la primera igualdad tenemos
Ahora calculemos la integral de línea para la primera igualdad. puede ser escrito como la unión de las cuatro regiones , , y .
Para utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas y con entonces
Para utilicemos las siguientes ecuaciones paramétricas y con entonces
La integral sobre es negativa pues va de a . En y , es constante por lo que
Por lo que
De manera análoga se puede demostrar la segunda igualdad, combinando estos dos resultados, habremos demostrado el resultado para regiones de tipo III.
Ejemplo
Podemos utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea
donde es la trayectoria orientada en sentido antihorario desde hasta a lo largo de la gráfica de desde hasta a lo largo de la gráfica de .
Como y entonces
Aplicando el teorema de Green
Para este ejemplo, el teorema de Green se utilizó para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de línea en este caso es algo laborioso. Es importante notar que en este caso, es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipótesis.
Relación con el teorema de Stokes
El teorema de Green es un caso especial en del teorema de Stokes. El teorema enuncia
Sean una región simplemente conexa, su frontera orientada en sentido positivo y un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre entonces
Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente es constantemente . Escribiremos como una función vectorial . Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green:
Aplicando el teorema de Kelvin-Stokes
La superficie es simplemente la región en el plano , con el vector normal unitario apuntando (en la dirección positiva de ) de tal manera que coincida con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas (Green y Stokes). Se verifica .
La expresión dentro de la integral queda
De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green:
luego
Relación con el teorema de la divergencia o de Gauss
El teorema de Green es un caso especial en del teorema de Gauss pues
donde es un vector normal en la frontera.
Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva está orientada positivamente, es decir, en sentido antihorario a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .
Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en
que por medio del teorema de la divergencia resulta
Área de una región con el Teorema de Green
Si es una curva cerrada simple que acota una región simplemente conexa entonces el área de la región , que denotaremos por , acotada por está dada por
Ejemplo
Demostremos que el área de una elipse con semi ejes es .
La ecuación de una elipse es
que puede ser escrita como
Al hacer
Obtenemos que una parametrización de la frontera de la elipse, es decir, de es
Una demostración en flash del Teorema de Green (en inglés)
Datos:Q321237
Multimedia:Green's theorem
Abril 02, 2022
teorema, green, para, otros, usos, véase, teorema, divergencia, física, matemáticas, teorema, green, relación, entre, integral, línea, alrededor, curva, cerrada, simple, displaystyle, integral, doble, sobre, región, plana, displaystyle, limitada, displaystyle,. Para otros usos vease Teorema de la divergencia En fisica y matematicas el teorema de Green da la relacion entre una integral de linea alrededor de una curva cerrada simple C displaystyle C y una integral doble sobre la region plana D displaystyle D limitada por C displaystyle C El teorema de Green se llama asi por el cientifico britanico George Green y resulta ser un caso especial del mas general teorema de Stokes Indice 1 Teorema 2 Demostracion cuando UNIQ postMath 0000000A QINU es una region simple 3 Ejemplo 4 Relacion con el teorema de Stokes 5 Relacion con el teorema de la divergencia o de Gauss 6 Area de una region con el Teorema de Green 6 1 Ejemplo 7 Vease tambien 8 Enlaces externosTeorema EditarSean D R 2 displaystyle D subset mathbb R 2 una region simple cuya frontera es una curva C displaystyle C suave a trozos orientada en sentido positivo si F M N D R 2 displaystyle mathbf F M N D rightarrow mathbb R 2 es un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una region abierta que contiene a D displaystyle D entonces C M d x N d y D N x M y d A displaystyle oint C Mdx Ndy iint D left frac partial N partial x frac partial M partial y right dA donde C D displaystyle C partial D Demostracion cuando D displaystyle D es una region simple Editar Si D displaystyle D es una region simple con su limite consistente en las curvas C 1 displaystyle C 1 C 2 displaystyle C 2 C 3 displaystyle C 3 C 4 displaystyle C 4 la mitad del teorema de Green puede ser demostrada Lo siguiente es una demostracion de la mitad del teorema para la region D displaystyle D se demostrara cuando D displaystyle D es una region tipo I donde C 1 displaystyle C 1 y C 3 displaystyle C 3 son curvas conectadas por lineas verticales posiblemente de longitud cero Una demostracion similar existe para la otra parte del teorema cuando se considera a D displaystyle D como una region tipo II donde C 2 displaystyle C 2 y C 4 displaystyle C 4 son curvas conectadas por curvas horizontalmente y otra vez posiblemente de longitud cero Considerando estas dos partes uno demuestra el teorema para una region de tipo III definida como una region que es tanto de tipo I como de tipo II Puede demostrarse que si D M d x D M y d A displaystyle oint partial D Mdx iint D left frac partial M partial y right dA y D N d y D N x d A displaystyle oint partial D Ndy iint D left frac partial N partial x right dA son ciertas entonces el teorema de Green queda demostrado para la region D displaystyle D Podemos probar la primera igualdad para regiones de tipo I y la segunda para regiones de tipo II con lo que el teorema de Green es valido para regiones de tipo III Si suponemos que D displaystyle D es una region de tipo I entonces D displaystyle D queda descrita como D x y R 2 a x b g 1 x y g 2 x displaystyle D x y in mathbb R 2 a leq x leq b g 1 x leq y leq g 2 x donde g 1 x displaystyle g 1 x y g 2 x displaystyle g 2 x son funciones continuas en a b displaystyle a b Calculando la integral doble de la primera igualdad tenemos D M y d A a b g 1 x g 2 x M y x y d y d x a b M x g 2 x M x g 1 x d x displaystyle begin aligned iint D frac partial M partial y dA amp int a b int g 1 x g 2 x frac partial M partial y x y dydx amp int a b M x g 2 x M x g 1 x dx end aligned Ahora calculemos la integral de linea para la primera igualdad D displaystyle partial D puede ser escrito como la union de las cuatro regiones C 1 displaystyle C 1 C 2 displaystyle C 2 C 3 displaystyle C 3 y C 4 displaystyle C 4 Para C 1 displaystyle C 1 utilicemos las siguientes ecuaciones parametricas x x displaystyle x x y y g 1 x displaystyle y g 1 x con a x b displaystyle a leq x leq b entonces C 1 M x y d x a b M x g 1 x d x displaystyle int C 1 M x y dx int a b M x g 1 x dx Para C 3 displaystyle C 3 utilicemos las siguientes ecuaciones parametricas x x displaystyle x x y y g 2 x displaystyle y g 2 x con a x b displaystyle a leq x leq b entonces C 3 M x y d x C 3 M x y d x a b M x g 2 x d x displaystyle int C 3 M x y dx int C 3 M x y dx int a b M x g 2 x dx La integral sobre C 3 displaystyle C 3 es negativa pues va de b displaystyle b a a displaystyle a En C 2 displaystyle C 2 y C 4 displaystyle C 4 x displaystyle x es constante por lo que C 4 M x y d x C 2 M x y d x 0 displaystyle int C 4 M x y dx int C 2 M x y dx 0 Por lo que D M d x C 1 M x y d x C 2 M x y d x C 3 M x y d x C 4 M x y d x C 1 M x y d x C 3 M x y d x a b M x g 1 x d x a b M x g 2 x d x a b M x g 1 x d x M x g 2 x d x a b M x g 2 x d x M x g 1 x d x D M y d A displaystyle begin aligned oint partial D Mdx amp int C 1 M x y dx int C 2 M x y dx int C 3 M x y dx int C 4 M x y dx amp int C 1 M x y dx int C 3 M x y dx amp int a b M x g 1 x dx int a b M x g 2 x dx amp int a b M x g 1 x dx M x g 2 x dx amp int a b M x g 2 x dx M x g 1 x dx amp iint D frac partial M partial y dA end aligned De manera analoga se puede demostrar la segunda igualdad combinando estos dos resultados habremos demostrado el resultado para regiones de tipo III Ejemplo EditarPodemos utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de linea D y 3 d x x 3 3 x y 2 d y displaystyle oint partial D y 3 dx x 3 3xy 2 dy donde D displaystyle partial D es la trayectoria orientada en sentido antihorario desde 0 0 displaystyle 0 0 hasta 1 1 displaystyle 1 1 a lo largo de la grafica de y x 3 displaystyle y x 3 desde 1 1 displaystyle 1 1 hasta 0 0 displaystyle 0 0 a lo largo de la grafica de y x displaystyle y x Como M y 3 displaystyle M y 3 y N x 3 3 x y 2 displaystyle N x 3 3xy 2 entonces N x 3 x 2 3 y 2 M y 3 y 2 displaystyle frac partial N partial x 3x 2 3y 2 qquad qquad frac partial M partial y 3y 2 Aplicando el teorema de Green D y 3 d x x 3 3 x y 2 d y D 3 x 2 3 y 2 3 y 2 d A D 3 x 2 d A 0 1 x 3 x 3 x 2 d y d x 0 1 3 x 3 3 x 5 d x 1 4 displaystyle begin aligned oint partial D y 3 dx x 3 3xy 2 dy amp iint D 3x 2 3y 2 3y 2 dA amp iint D 3x 2 dA amp int 0 1 int x 3 x 3x 2 dydx amp int 0 1 3x 3 3x 5 dx amp frac 1 4 end aligned Para este ejemplo el teorema de Green se utilizo para ahorrar tiempo pues evaluar la integral de linea en este caso es algo laborioso Es importante notar que en este caso es aplicable el teorema de Green pues satisface las hipotesis Relacion con el teorema de Stokes EditarEl teorema de Green es un caso especial en R 2 displaystyle mathbb R 2 del teorema de Stokes El teorema enunciaSean D R 2 displaystyle D subset mathbb R 2 una region simplemente conexa D displaystyle partial D su frontera orientada en sentido positivo y F M N D R 2 displaystyle mathbf F M N D rightarrow mathbb R 2 un campo vectorial con derivadas parciales continuas sobre D displaystyle D entonces D F d r D F k d A displaystyle oint partial D mathbf F cdot d mathbf r iint D left nabla times mathbf F right cdot mathbf k dA Podemos aumentar el campo vectorial de dos dimensiones a uno de tres dimensiones donde la componente z displaystyle z es constantemente 0 displaystyle 0 Escribiremos F displaystyle mathbf F como una funcion vectorial F M N 0 displaystyle mathbf F M N 0 Empezaremos con el lado izquierdo del teorema de Green D M d x N d y D M N 0 d x d y d z D F d r displaystyle oint partial D M dx N dy oint partial D M N 0 cdot dx dy dz oint partial D mathbf F cdot d mathbf r Aplicando el teorema de Kelvin Stokes D F d r S F n d A displaystyle oint partial D mathbf F cdot d mathbf r iint S left nabla times mathbf F right cdot mathbf hat n dA La superficie S displaystyle S es simplemente la region en el plano D displaystyle D con el vector normal unitario n displaystyle mathbf hat n apuntando en la direccion positiva de z displaystyle z de tal manera que coincida con las definiciones de orientacion positiva para ambos teoremas Green y Stokes Se verifica n k displaystyle mathbf hat n mathbf k La expresion dentro de la integral queda F k 0 y N z i M z 0 x j N x M y k k N x M y displaystyle begin aligned left nabla times mathbf F right cdot mathbf k amp left left frac partial 0 partial y frac partial N partial z right mathbf i left frac partial M partial z frac partial 0 partial x right mathbf j left frac partial N partial x frac partial M partial y right mathbf k right cdot mathbf k amp left frac partial N partial x frac partial M partial y right end aligned De esta manera se obtiene el lado derecho del teorema de Green S F k d A D N x M y d A displaystyle iint S left nabla times mathbf F right cdot mathbf k dA iint D left frac partial N partial x frac partial M partial y right dA luego D F d r D F k d A displaystyle oint partial D mathbf F cdot d mathbf r iint D left nabla times mathbf F right cdot mathbf k dA Relacion con el teorema de la divergencia o de Gauss EditarEl teorema de Green es un caso especial en R 2 displaystyle mathbb R 2 del teorema de Gauss pues D F n d s D F d A displaystyle oint partial D mathbf F cdot mathbf n ds iint D nabla cdot mathbf F dA donde n displaystyle mathbf n es un vector normal en la frontera Para ver esto considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuacion Como d r d x d y displaystyle d mathbf r dx dy es un vector apuntando tangencialmente a traves de una curva y la curva C displaystyle C esta orientada positivamente es decir en sentido antihorario a traves de la frontera un vector normal saliente seria aquel que apunta en 90º hacia la derecha el cual podria ser d y d x displaystyle dy dx El modulo de este vector es d x 2 d y 2 d r displaystyle sqrt dx 2 dy 2 d mathbb r Por lo tanto n d r d y d x displaystyle mathbf n dr dy dx Tomando los componentes de F N M displaystyle mathbf F N M el lado derecho se convierte en D F n d s D N M d y d x D N d y M d x displaystyle begin aligned int partial D mathbf F cdot mathbf n ds amp int partial D N M cdot dy dx amp int partial D Ndy Mdx end aligned que por medio del teorema de la divergencia resulta D M d x N d y D F d A D N M d A D N x M y d A displaystyle begin aligned int partial D Mdx Ndy amp iint D nabla cdot mathbf F dA amp iint D nabla cdot N M dA amp iint D left frac partial N partial x frac partial M partial y right dA end aligned Area de una region con el Teorema de Green EditarSi C displaystyle C es una curva cerrada simple que acota una region simplemente conexa entonces el area de la region D displaystyle D que denotaremos por A D displaystyle A D acotada por C D displaystyle C partial D esta dada por A D 1 2 D x d y y d x displaystyle A D frac 1 2 int partial D xdy ydx Ejemplo Editar Demostremos que el area de una elipse con semi ejes a b gt 0 displaystyle a b gt 0 es a b p displaystyle ab pi La ecuacion de una elipse es x 2 a 2 y 2 b 2 1 displaystyle frac x 2 a 2 frac y 2 b 2 1 que puede ser escrita como x a 2 y b 2 1 displaystyle left frac x a right 2 left frac y b right 2 1 Al hacer x a cos t y b sen t displaystyle begin aligned x amp a cos t y amp b operatorname sen t end aligned Obtenemos que una parametrizacion de la frontera de la elipse es decir de D displaystyle partial D es r t a cos t b sen t 0 t 2 p r t a sen t b cos t displaystyle begin aligned mathbf r t amp a cos t b operatorname sen t qquad 0 leq t leq 2 pi mathbf r t amp a operatorname sen t b cos t end aligned Entonces A D 1 2 D x d y y d x 1 2 0 2 p a b cos 2 t a b sen 2 t d t a b 2 0 2 p cos 2 t sen 2 t d t a b 2 0 2 p d t a b 2 2 p a b p displaystyle begin aligned A D amp frac 1 2 int partial D xdy ydx amp frac 1 2 int 0 2 pi left ab cos 2 t ab operatorname sen 2 t right dt amp frac ab 2 int 0 2 pi left cos 2 t operatorname sen 2 t right dt amp frac ab 2 int 0 2 pi dt amp left frac ab 2 right 2 pi amp ab pi end aligned Vease tambien EditarIntegral de linea Teorema de Stokes Teorema de GaussEnlaces externos EditarWeisstein Eric W Teorema de Green En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Una demostracion en flash del Teorema de Green en ingles Datos Q321237 Multimedia Green s theorem Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Green amp oldid 141014369, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,