como la integral que queremos calcular. Podemos definir como el producto de la integral con ella misma y mediante el Teorema de Fubini podemos expresar la integral como
Procedemos a realizar un cambio de variables a coordenadas a polares:
donde el factor es consecuencia de calcular el determinante del cambio de variable de coordenadas cartesianas a polares, y aparece al hacer un cambio de variable tal que , . Así obtenemos
por lo tanto
Coordenadas Cartesianas
Una técnica diferente para calcular el valor de la integral gaussiana es la siguiente.
Comencemos definiendo
por lo que
Notemos que el integrando, es decir , es una función par por lo que
Esta expresión es útil para calcular momentos de algunas distribuciones de probabilidad continuas relacionadas con la distribución normal, como la distribución log-normal.
integral, gauss, matemáticas, integral, gauss, integral, gaussiana, integral, probabilidad, integral, impropia, función, gaussiana, displaystyle, sobre, toda, recta, números, reales, debe, nombre, matemático, físico, alemán, carl, friedrich, gauss, valor, func. En matematicas la integral de Gauss integral gaussiana o integral de probabilidad es la integral impropia de la funcion gaussiana f x e x 2 displaystyle f x e x 2 sobre toda la recta de los numeros reales Debe su nombre al matematico y fisico aleman Carl Friedrich Gauss y su valor es Funcion gaussiana e x 2 displaystyle e x 2 El area encerrada bajo esa curva con el eje x es e x 2 d x p textstyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi e x 2 d x p displaystyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi Esta integral tiene amplias aplicaciones incluyendo normalizacion en teoria de la probabilidad y transformada continua de Fourier Tambien aparece en la definicion de la funcion error No existe ninguna funcion elemental para la funcion error como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch por lo que la integral Gaussiana no puede ser resuelta analiticamente con las herramientas del calculo O sea no existe una integral indefinida elemental para e x 2 d x displaystyle int e x 2 dx pero si es posible evaluar la integral definida e x 2 d x displaystyle int infty infty e x 2 dx Indice 1 Calculo de la Integral 1 1 Coordenadas Polares 1 2 Coordenadas Cartesianas 2 Relacion con la funcion Gamma 3 Generalizaciones 3 1 Integral de una funcion gaussiana 3 2 Integrales de forma similar 4 Vease tambien 5 ReferenciasCalculo de la Integral EditarCoordenadas Polares Editar La forma mas comun de calcular la integral de Gauss es mediante integracion doble en el sistema cartesiano de coordenadas para despues hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor Se procede de la siguiente manera Se define I e x 2 d x displaystyle mathcal I int infty infty e x 2 dx como la integral que queremos calcular Podemos definir I 2 displaystyle mathcal I 2 como el producto de la integral I displaystyle mathcal I con ella misma y mediante el Teorema de Fubini podemos expresar la integral como I 2 e x 2 d x 2 e x 2 d x e y 2 d y e x 2 d x e y 2 d y e x 2 y 2 d x d y e x 2 y 2 d x d y R 2 e x 2 y 2 d x d y displaystyle begin aligned mathcal I 2 amp Biggl int infty infty e x 2 dx Biggr 2 amp int infty infty e x 2 dx cdot int infty infty e y 2 dy amp int infty infty Biggl int infty infty e x 2 dx Biggr e y 2 dy amp int infty infty Biggl int infty infty e x 2 y 2 dx Biggr dy amp int infty infty int infty infty e x 2 y 2 dxdy amp iint mathbb R 2 e x 2 y 2 dxdy end aligned Procedemos a realizar un cambio de variables a coordenadas a polares R 2 e x 2 y 2 d x d y 0 2 p 0 r e r 2 d r d 8 0 2 p d 8 0 r e r 2 d r 2 p 0 r e r 2 d r 2 p 0 1 2 e s d s p 0 e s d s p e 0 e p 1 0 p displaystyle begin aligned iint mathbb R 2 e x 2 y 2 dxdy amp int 0 2 pi int 0 infty re r 2 drd theta amp int 0 2 pi d theta int 0 infty re r 2 dr amp 2 pi int 0 infty re r 2 dr amp 2 pi int infty 0 frac 1 2 e s ds amp pi int infty 0 e s ds amp pi e 0 e infty amp pi 1 0 amp pi end aligned donde el factor r displaystyle r es consecuencia de calcular el determinante del cambio de variable de coordenadas cartesianas a polares y s displaystyle s aparece al hacer un cambio de variable tal que s r 2 displaystyle s r 2 d s 2 r d r displaystyle ds 2rdr Asi obtenemos I 2 e x 2 d x 2 R 2 e x 2 y 2 d x d y p displaystyle mathcal I 2 left int infty infty e x 2 dx right 2 iint mathbb R 2 e x 2 y 2 dx dy pi por lo tanto I e x 2 d x p displaystyle mathcal I int infty infty e x 2 dx sqrt pi Coordenadas Cartesianas Editar Una tecnica diferente para calcular el valor de la integral gaussiana es la siguiente Comencemos definiendo I e x 2 d x displaystyle mathcal I int infty infty e x 2 dx por lo que I 2 e x 2 d x 2 displaystyle mathcal I 2 left int infty infty e x 2 dx right 2 Notemos que el integrando es decir f x e x 2 displaystyle f x e x 2 es una funcion par por lo que e x 2 d x 2 0 e x 2 d x displaystyle int infty infty e x 2 dx 2 int 0 infty e x 2 dx entonces I 2 4 0 0 e x 2 y 2 d y d x displaystyle mathcal I 2 4 int 0 infty int 0 infty e x 2 y 2 dydx Sea y x s d y x d s displaystyle begin aligned y amp xs dy amp xds end aligned entonces I 2 4 0 0 e x 2 y 2 d y d x 4 0 0 e x 2 x 2 s 2 x d s d x 4 0 0 e x 2 1 s 2 x d s d x 4 0 0 e x 2 1 s 2 x d x d s 4 0 1 2 1 s 2 e x 2 1 s 2 x 0 x d s 4 1 2 0 d s 1 s 2 2 arctan s 0 p displaystyle begin aligned mathcal I 2 amp 4 int 0 infty int 0 infty e x 2 y 2 dydx amp 4 int 0 infty int 0 infty e x 2 x 2 s 2 xdsdx amp 4 int 0 infty int 0 infty e x 2 1 s 2 xdsdx amp 4 int 0 infty int 0 infty e x 2 1 s 2 xdxds amp 4 int 0 infty left left frac 1 2 1 s 2 e x 2 1 s 2 right x 0 x infty right ds amp 4 left frac 1 2 int 0 infty frac ds 1 s 2 right amp 2 arctan s bigg 0 infty amp pi end aligned Por lo tanto I e x 2 d x p displaystyle mathcal I int infty infty e x 2 dx sqrt pi Relacion con la funcion Gamma EditarLa funcion gamma esta dada por G a 0 t a 1 e t d t displaystyle Gamma alpha int 0 infty t alpha 1 e t dt y un resultado destacado de esta funcion es cuando a 1 2 displaystyle alpha 1 2 pues G 1 2 p displaystyle Gamma left frac 1 2 right sqrt pi considerando este resultado veamos que relacion tiene con la integral gaussiana comencemos considerando que e x 2 d x 2 0 e x 2 d x displaystyle int infty infty e x 2 dx 2 int 0 infty e x 2 dx pues f x e x 2 displaystyle f x e x 2 una funcion par Al hacer el cambio de variable t x 2 displaystyle t x 2 obtenemos x t 1 2 d x 1 2 t 1 2 d t displaystyle begin aligned x amp t 1 2 dx amp frac 1 2 t 1 2 dt end aligned entonces e x 2 d x 2 0 e x 2 d x 2 0 e t 1 2 t 1 2 d t 0 e t t 1 2 d t 0 t 1 1 2 1 e t d t G 1 1 2 G 1 2 p displaystyle begin aligned int infty infty e x 2 dx amp 2 int 0 infty e x 2 dx amp 2 int 0 infty e t left frac 1 2 t 1 2 right dt amp int 0 infty e t t 1 2 dt amp int 0 infty t left 1 frac 1 2 right 1 e t dt amp Gamma left 1 frac 1 2 right amp Gamma left frac 1 2 right amp sqrt pi end aligned Esto muestra por que el factorial de la mitad de un entero es un numero irracional multiplo de p displaystyle sqrt pi mas generalmente 0 e a x b d x a 1 b G 1 1 b displaystyle int 0 infty e ax b dx a 1 b Gamma left 1 frac 1 b right Generalizaciones EditarIntegral de una funcion gaussiana Editar La integral de una funcion Gaussiana arbitraria es e a x b 2 d x p a displaystyle int infty infty e a x b 2 dx sqrt frac pi a con a b R displaystyle a b in mathbb R Una forma alternativa es e a x 2 b x c d x p a e b 2 4 a c displaystyle int infty infty e ax 2 bx c dx sqrt frac pi a e frac b 2 4a c Esta expresion es util para calcular momentos de algunas distribuciones de probabilidad continuas relacionadas con la distribucion normal como la distribucion log normal Integrales de forma similar Editar 0 x 2 n e x 2 a 2 d x p a 2 n 1 2 n 1 2 n 1 0 x 2 n 1 e x 2 a 2 d x n 2 a 2 n 2 0 x 2 n e a x 2 d x 2 n 1 a n 2 n 1 p a 0 x 2 n 1 e a x 2 d x n 2 a n 1 displaystyle begin aligned amp int 0 infty x 2n e frac x 2 a 2 dx sqrt pi frac a 2n 1 2n 1 2 n 1 amp int 0 infty x 2n 1 e frac x 2 a 2 dx frac n 2 a 2n 2 amp int 0 infty x 2n e ax 2 dx frac 2n 1 a n 2 n 1 sqrt frac pi a amp int 0 infty x 2n 1 e ax 2 dx frac n 2a n 1 end aligned donde n displaystyle n es un entero positivo y displaystyle denota el doble factorial Vease tambien EditarFuncion error Distribucion normalReferencias EditarWeisstein Eric W Gaussian Integral En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q1060321 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Integral de Gauss amp oldid 140483454, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,