Función inyectiva

En matemática, una función:

Ejemplo de función inyectiva no suprayectiva.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}$

es inyectiva, uno a uno, si a elementos distintos del conjunto ${\displaystyle X}$ (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto ${\displaystyle Y}$ (codominio) de ${\displaystyle f}$. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, dada por ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como ${\displaystyle f(2)}$ y ${\displaystyle f(-2)}$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}}$ , entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

• De manera más precisa, la función ${\displaystyle f:X\to Y}$  es inyectiva si y solo si ${\displaystyle a,b}$  son elementos de ${\displaystyle X}$  tales que, si ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ , entonces ${\displaystyle a=b}$ .
• O bien, equivalentemente, la función ${\displaystyle f:X\to Y}$  es inyectiva si y solo si ${\displaystyle a,b}$  son elementos diferentes de ${\displaystyle X}$ , entonces ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$ 

Simbólicamente,

${\displaystyle \forall \,a,b\in X,\ \ f(a)=f(b)\Longrightarrow a=b}$ 

que es equivalente a su contrarrecíproco

${\displaystyle \forall \,a,b\in X,\ \ a\neq b\Longrightarrow f(a)\neq f(b)}$ 

Para probar que una función no es inyectiva, basta con hallar dos valores distintos del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.

En ocasiones se utiliza la siguiente notación para referirse a una función inyectiva:

${\displaystyle f:X\rightarrowtail Y}$ 

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos ${\displaystyle \scriptstyle A}$  y ${\displaystyle \scriptstyle B}$ , entre los cuales existe una función inyectiva ${\displaystyle \scriptstyle f:A\to B}$  tienen cardinales que cumplen:

${\displaystyle {\mbox{card}}(A)\leq {\mbox{card}}(B)}$ 

Si además existe otra aplicación inyectiva ${\displaystyle \scriptstyle g:B\to A}$ , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Ejemplos

• Henderson afirma que para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para sí mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
• La función h : R → R definida por h(x) = x³  es inyectiva.
• La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
• La función g : R → R definida por g(x) = x² no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). Sin embargo, la g₁ con R como dominio y codominio, definida por g₁(x) = x |x|, es inyectiva. No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
• La función exponencial exp: R → R definida por exp(x) = e^x es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
• El logaritmo natural En la función ln: (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
• La función g : R → R definida por g(x) = xⁿ − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

En perspectiva geométrica, cuando se establece una función f de X a Y (subconjuntos de R), esta se reconoce como función inyectiva si su gráfica es cortada por una recta horizontal únicamente en un punto. Este principio se conoce como la prueba de la línea horizontal.^[1]​

Inyectividad en el espacio euclideo

Dada una función ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {f} :\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuándo esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

${\displaystyle \det D\mathbf {f} \neq 0}$ 

donde:

${\displaystyle D\mathbf {f} }$  es la matriz jacobiana de la función.

${\displaystyle \det(\cdot )}$  es la función determinante.

Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ 

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante ${\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )}$  si se cumple:

${\displaystyle \max _{\mathbf {x} \in {\bar {\Omega }}}\|D\mathbf {u} (\mathbf {x} )\|=\sup _{\mathbf {x} \in \Omega }\|D\mathbf {u} (\mathbf {x} )\|<c(\Omega )\leq 1}$ 

Donde:

${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ , es la clausura topológica del dominio ${\displaystyle \Omega }$ .

Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que ${\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )=1}$  si el dominio ${\displaystyle \scriptstyle \Omega }$  es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere ${\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )<1}$ .

Referencias

1. Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (5th. edición). Toronto ON: Brook/Cole. p. 64. ISBN 0-534-39330-6. Consultado el 15 de julio de 2012. «Por lo tanto, disponemos del siguiente método geométrico para determinar si una función presenta una correspondencia uno-a-uno.» 

Véase también

• Función biyectiva
• Función sobreyectiva
• Correspondencia matemática
• Pugs

•   Datos: Q182003
•   Multimedia: Injectivity