Teorema de la función inversa

En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación (función) sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho punto. Técnicamente es un teorema de existencia local de la función inversa. El teorema puede enunciarse para aplicaciones en Rⁿ o se puede generalizar a variedades diferenciables o espacios de Banach.

La función es continua y derivable en torno a cero.

Enunciado del Teorema

La versión en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  del teorema es la siguiente: Sea ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$  una función C¹. Supongamos que para ${\displaystyle a\in A}$ , la diferencial ${\displaystyle Df(a)\,}$  es invertible y que ${\displaystyle f(a)=b\,}$ . Entonces existen abiertos ${\displaystyle U,V\subset \mathbb {R} ^{n}}$  tales que ${\displaystyle a\in U}$ , ${\displaystyle b\in V}$  y ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$  es una función biyectiva por lo que la inversa ${\displaystyle f^{-1}:V\rightarrow U}$  de ${\displaystyle f\,}$  es C¹ y por lo tanto ${\displaystyle Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}\,}$ .

Existe una versión del teorema en espacios de Banach, que es una generalización de lo anterior. Sin embargo, la versión presentada es la que se presenta frecuentemente en la literatura puesto que su comprensión es más fácil. La demostración del teorema no es sencilla, puede consultarse en las referencias puesto que entre se requiere aplicar el teorema del punto fijo de Banach y la norma matricial además de otros resultados del análisis matemático que se obtienen de la caracterización de la convexidad.

Ejemplo

Consideremos la función F de R² en R² definida por

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}}$ 

Su matriz jacobiana es

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$ 

y su determinante

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$ 

Como el determinante e^2x es no nulo en todo punto, aplicando el teorema, para cada punto p de R², existe un entorno de p en que F es invertible.

Generalizaciones

Variedades diferenciables

En este contexto, el teorema afirma que dada una aplicación F : M → N entre dos variedades diferenciables, si la diferencial de F,

(dF)_p : T_pM → T_F(p)N

es un isomorfismo lineal (es decir, isomorfismo entre espacios vectoriales) en un punto p de M, entonces existe un entorno abierto U de p tal que

F|_U : U → F(U)

es un difeomorfismo.

Dicho de otro modo, si la diferencial de F es un isomorfismo en todos los puntos p de M, entonces la aplicación F es un difeomorfismo local.

Inversa global

El teorema de la función inversa sólo garantiza localmente la existencia de una función inversa. Los requerimientos para la existencia de una inversa global son algo más complicados y no quedan garantizados por el cumplimiento de las condiciones del teorema de la función inversa. De hecho dada una función diferenciable:

${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad m\geq n,\quad f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ 

Puede demostrarse que existe una constante ${\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )}$  si se cumple:

${\displaystyle \max _{x\in {\bar {\Omega }}}\|Du_{f}(x)\|=\sup _{x\in \Omega }\|Du_{f}(x)\|<c(\Omega )\leq 1}$ 

Tal que la función f admite inversa global, donde u_f es el vector desplazamiento asociado a la función definido como la resta vectorial entre la imagen de un punto y su posición inicial:

${\displaystyle u_{f}(x)=f(x)-x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 

Puede demostrarse que ${\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )=1}$  si el dominio ${\displaystyle \scriptstyle \Omega }$  es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere ${\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )<1}$ .

Véase también

• Teorema de la Función Implícita

Referencias

Para una demostración con detalles véase:

• Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo" (2013). Disponible en: https://docencia.dim.uchile.cl/wp-content/uploads/2021/03/apunte_cvv_felmer-jofre_v2013.pdf

Para ejemplos de aplicación práctica:

• Bombal, Marin & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

•   Datos: Q931001