Función generadora de probabilidad

Definición

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria entonces la función generatriz de probabilidades de ${\displaystyle X}$  se define como las siguiente:

${\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]}$ 

para ciertos valores ${\displaystyle t}$  tal que la esperanza exista.

En ocasiones se escribe ${\displaystyle G(t)}$  en lugar de ${\displaystyle G_{X}(t)}$  y se utilizan las letras f.g.p para referirse a la función generatriz de probabilidades.

Cálculo de la f.g.p.

Variables aleatorias discretas

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria discreta entonces su función generatriz de probabilidades está dada por:

${\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }t^{k}P(X=k)}$ 

donde ${\displaystyle P(X=k)}$  con ${\displaystyle k=0,1,\dots }$  denota la función de probabilidad.

A partir de lo anterior, no es difícil ver que

${\displaystyle G_{X}(1)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }P(X=k)=1}$ 

Variables aleatorias continuas

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria continua entonces su función generatriz de probabilidades está dada por

${\displaystyle G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\int _{x\in S}t^{x}f(x)dx}$ 

donde ${\displaystyle f(x)}$  denota la función de densidad y ${\displaystyle S}$  denota el soporte de la variable aleatoria.

Propiedades

Para una variable aleatoria discreta ${\displaystyle X}$  se pueden obtener las distribuciones de probabilidad ${\displaystyle P(X=k)}$  como

${\displaystyle \displaystyle P(X=k)={\frac {1}{k!}}\left.{\frac {d^{k}G_{X}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}}$ 

Si ${\displaystyle X}$  y ${\displaystyle Y}$  son variables aleatorias independientes con f.g.p. ${\displaystyle G_{X}(t)}$  y ${\displaystyle G_{Y}(t)}$  respectivamente entonces

${\displaystyle G_{X+Y}(t)=G_{X}(t)G_{Y}(t)}$ .

f.g.p. para algunas distribuciones discretas

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Uniforme}}(x_{1},\dots ,x_{n})}$  entonces

${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}t^{x_{i}}}$ .

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Bernoulli}}(p)}$  entonces

${\displaystyle G_{X}(t)=1-p+pt}$ .

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Binomial}}(n,p)}$  entonces

${\displaystyle G_{X}(t)=(1-p+pt)^{n}}$ .

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Geométrica}}(p)}$  entonces

${\displaystyle G_{X}(t)={\frac {p}{1-t(1-p)}}}$ .

Si ${\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}$  entonces

${\displaystyle G_{X}(t)=e^{-\lambda (1-t)}}$ .

Véase también

• Función característica
• Función generadora de momentos
• Esperanza
• Varianza
• Covarianza
• Variable aleatoria

•   Datos: Q372071