En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva.
Definición
Formalmente, una función elíptica es una función meromorfa definida sobre para la que existen dos números complejos no nulos y tal que
En el desarrollo de la teoría de las funciones elípticas, la mayoría de autores modernos utilizan la notación creada por Karl Weierstrass: la notación de las funciones elípticas en forma de Weierstrass basadas en la función es cómoda y cualquier función elíptica puede ser expresada a partir de estas. Weierstrass se interesó en estas funciones cuando era estudiante de Christoph Gudermann, un estudiante de Carl Friedrich Gauss. Las funciones elípticas introducidas por Carl Gustav Jakob Jacobi, y la función auxiliar theta (no doble periódica), son más complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoría general. La diferencia más importante entre estas dos teorías es que las funciones de Weierstrass tienen polos de alto orden situados en las esquinas de un retículo periódico, mientras que las funciones de Jacobi tienen polos simples.
Cualquier número ω tal que f(z + ω) = f(z) para toda z de C se le llama period de f. Si dos periodos a y b son tales que cualquier otro periodo ω puede ser escrito como ω = ma + nb con m y nenteros , entonces a y b se les llama periodos fundamentales. Toda función elíptica tiene un par fundamental de períodos, aunque este par no es único, como se describe más adelante.
Si a y b son periodos fundamentales que describen un retículo, entonces exactamente el mismo retículo puede ser obtenido por los periodos fundamentales a' y b' donde a' = pa + qb y b' = ra + sb donde p, q, r y s son enteros que satisfacen ps − qr = 1. Dicho de otra forma, la matriz tiene determinante unidad, por lo que pertenece al grupo modular. En otras palabras, si a y b son periodos fundamentales de una función elíptica, entonces también lo son a' y b' .
Si a y b son periodos fundamentales, entonces cualquier paralelogramo con vértices z, z + a, z + b, z + a + b se le llama paralelogramo fundamental. Moviendo dicho paralelogramo múltiples de a y b obtenemos una copia del paralelogramo, y la función f se comporta idénticamente sobre todas esas copias, debido a esta periodicidad.
El número de polos es cualquier paralelogramo es finito (e igualmente para todo paralelogramo fundamental). A no ser que la función elíptica sea constante, todo paralelogramo fundamental tiene al menos un polo como consecuencia del teorema de Liouville.
La suma de los órdenes de los polos en cualquier paralelogramo fundamental se le llama el orden de la función elíptica. La suma de los residuos de los polos en cualquier paralelogramos fundamental es igual a cero, en particular, ninguna función elíptica puede tener orden uno.
El número de ceros (contados con su multiplicidad) en cualquier paralelogramo fundamental es igual al orden de la función elíptica.
La derivada de una función elíptica es otra función elíptica con los mismos periodos. El conjunto de todas las funciones elípticas con el mismo periodo fundamental forman un cuerpo.
Las funciones elípticas en forma de Weierstrass son el prototipo de función elíptica, y de hecho, el cuerpo de funciones elípticas para un retículo dado se genera a partir de y su derivada .
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En analisis complejo una funcion eliptica es hablando toscamente una funcion definida sobre el plano complejo y periodica en ambas direcciones Las funciones elipticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonometricas las cuales unicamente tienen la periodicidad en una direccion paralela a la recta real Historicamente las funciones elipticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elipticas estas fueron estudiadas en relacion con el problema de la longitud de arco en una elipse de donde el nombre se deriva Definicion EditarFormalmente una funcion eliptica es una funcion meromorfa f displaystyle f definida sobre C displaystyle mathbb C para la que existen dos numeros complejos no nulos a displaystyle a y b displaystyle b tal que f z a f z b f z displaystyle f z a f z b f z z C displaystyle forall z in mathbb C y tal que a b displaystyle tfrac a b no es un real De esto se deduce que f z m a n b f z displaystyle f z ma nb f z z C displaystyle forall z in mathbb C y para todo entero m displaystyle m y n displaystyle n En el desarrollo de la teoria de las funciones elipticas la mayoria de autores modernos utilizan la notacion creada por Karl Weierstrass la notacion de las funciones elipticas en forma de Weierstrass basadas en la funcion displaystyle wp es comoda y cualquier funcion eliptica puede ser expresada a partir de estas Weierstrass se intereso en estas funciones cuando era estudiante de Christoph Gudermann un estudiante de Carl Friedrich Gauss Las funciones elipticas introducidas por Carl Gustav Jakob Jacobi y la funcion auxiliar theta no doble periodica son mas complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoria general La diferencia mas importante entre estas dos teorias es que las funciones de Weierstrass tienen polos de alto orden situados en las esquinas de un reticulo periodico mientras que las funciones de Jacobi tienen polos simples El estudio de las funciones elipticas esta estrechamente relacionado con el estudio de las funciones modulares y las formas modulares relacion demostrada por el teorema de Taniyama Shimura Algunos ejemplos de esta relacion son el invariante j las series de Eisenstein y la funcion eta de Dedekind Propiedades EditarCualquier numero w tal que f z w f z para toda z de C se le llama period de f Si dos periodos a y b son tales que cualquier otro periodo w puede ser escrito como w ma nb con m y n enteros entonces a y b se les llama periodos fundamentales Toda funcion eliptica tiene un par fundamental de periodos aunque este par no es unico como se describe mas adelante Si a y b son periodos fundamentales que describen un reticulo entonces exactamente el mismo reticulo puede ser obtenido por los periodos fundamentales a y b donde a p a q b y b r a s b donde p q r y s son enteros que satisfacen p s q r 1 Dicho de otra forma la matriz p q r s displaystyle begin pmatrix p amp q r amp s end pmatrix tiene determinante unidad por lo que pertenece al grupo modular En otras palabras si a y b son periodos fundamentales de una funcion eliptica entonces tambien lo son a y b Si a y b son periodos fundamentales entonces cualquier paralelogramo con vertices z z a z b z a b se le llama paralelogramo fundamental Moviendo dicho paralelogramo multiples de a y b obtenemos una copia del paralelogramo y la funcion f se comporta identicamente sobre todas esas copias debido a esta periodicidad El numero de polos es cualquier paralelogramo es finito e igualmente para todo paralelogramo fundamental A no ser que la funcion eliptica sea constante todo paralelogramo fundamental tiene al menos un polo como consecuencia del teorema de Liouville La suma de los ordenes de los polos en cualquier paralelogramo fundamental se le llama el orden de la funcion eliptica La suma de los residuos de los polos en cualquier paralelogramos fundamental es igual a cero en particular ninguna funcion eliptica puede tener orden uno El numero de ceros contados con su multiplicidad en cualquier paralelogramo fundamental es igual al orden de la funcion eliptica La derivada de una funcion eliptica es otra funcion eliptica con los mismos periodos El conjunto de todas las funciones elipticas con el mismo periodo fundamental forman un cuerpo Las funciones elipticas en forma de Weierstrass displaystyle wp son el prototipo de funcion eliptica y de hecho el cuerpo de funciones elipticas para un reticulo dado se genera a partir de displaystyle wp y su derivada displaystyle wp Vease tambien EditarFuncion eliptica de Jacobi Funcion eliptica de Weierstrass Datos Q938102 Multimedia Elliptic functionsObtenido de https es wikipedia org w index php title Funcion eliptica amp oldid 120190193, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
