Teorema de Taniyama-Shimura

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura.^[1]​ En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

${\displaystyle y^{2}=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D}$ 

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$  y ${\displaystyle D}$  son números racionales.

Una forma modular es una función analítica ${\displaystyle f:H\rightarrow \mathbb {C} }$  del semiplano superior

${\displaystyle H=\{x+iy:y>0\}}$ 

a los complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , tal que ${\displaystyle f}$  satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas ${\displaystyle f(x)=f(x+N)}$  para todo ${\displaystyle x}$  y algún entero ${\displaystyle N}$  fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica ${\displaystyle E}$  con coeficientes racionales existe una forma modular ${\displaystyle f}$  (de peso 2) tal que la serie ${\displaystyle L}$  asociada a ${\displaystyle E}$  y la serie ${\displaystyle L}$  asociada a ${\displaystyle f}$  coinciden. Esto equivale a que los coeficientes ${\displaystyle a_{p}}$  asociados a la curva ${\displaystyle E}$  (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo ${\displaystyle p}$ , para ${\displaystyle \ p}$  primo de buena reducción de ${\displaystyle E}$ ) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de ${\displaystyle f}$ . Andrew Wiles (90's)

Historia

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.^[2]​ Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.^[3]​ Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último se suicidó a los 31 años en 1958.

Citas

1. Singh, 2007, p. 193
2. Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551
3. Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. Contains the proof of the modularity theorem

Referencias

• Singh, Simon (2007). «5. Prueba por contradicción». El enigma de Fermat (Segunda edición). Editorial Planeta. ISBN 9788408046790. 

• Aczel, Amir D.: El último teorema de Fermat, Fondo de cultura económica, México,publicado año 2003.

•   Datos: Q649469