Notas: La factorización LU expresa el método de Gauss en forma matricial. En efecto, PA = LU donde P es una matriz de permutación. Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz A sea invertible.
Resolución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b: primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly = b y después Ux = y.
Existencia: Una condición necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.[1]
Métodos de cálculo: método de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1. El método de Doolittle es una modificación del mismo.
Factorización
Aplicable a: una matriz simétrica A.
Factorización: donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.
Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.
Factorización: , donde Σ es una matriz diagonalmxn, y U y V son matrices ortogonalesmxm y nxn respectivamente, siendo la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
Notas: a la matriz , donde es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.
De La Fuente O'Connor, José Luis (1998). Técnicas de cálculo para Sistemas de Ecuaciones, Programación Lineal y Programación Entera. Barcelona: Reverté, S.A. ISBN 978-84-291-2606-8.
Datos:Q1361088
Enero 20, 2022
factorización, matrices, para, otros, usos, este, término, véase, factorización, desambiguación, álgebra, lineal, factorización, matriz, descomposición, misma, como, producto, más, matrices, según, forma, canónica, según, aplicaciones, factorización, podemos, . Para otros usos de este termino vease Factorizacion desambiguacion En algebra lineal la factorizacion de una matriz es la descomposicion de la misma como producto de dos o mas matrices segun una forma canonica Segun las aplicaciones de la factorizacion podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones Indice 1 Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales 1 1 Factorizacion LU 1 2 Factorizacion UNIQ postMath 00000002 QINU 1 3 Factorizacion de Cholesky 1 4 Factorizacion QR o triangularizacion ortogonal 1 5 Descomposicion en valores singulares 2 Otros tipos de factorizaciones 2 1 Diagonalizacion de una matriz 2 2 Forma canonica de Jordan 2 3 Factorizacion de rango 2 4 Factorizacion de Schur 2 5 Tridiagonalizacion 3 Referencias 4 BibliografiaResolucion de sistemas de ecuaciones lineales EditarLas siguientes factorizaciones se utilizan en la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales calculo de determinantes e inversion de matrices Factorizacion LU Editar Aplicable a una matriz cuadrada A Factorizacion A L U displaystyle A LU donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior Notas La factorizacion LU expresa el metodo de Gauss en forma matricial En efecto PA LU donde P es una matriz de permutacion Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1 Una condicion suficiente de que exista la factorizacion es que la matriz A sea invertible Resolucion del sistema de ecuaciones lineales Ax b primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly b y despues Ux y Existencia Una condicion necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero 1 Metodos de calculo metodo de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1 El metodo de Doolittle es una modificacion del mismo Factorizacion L D L T displaystyle LDL T Editar Aplicable a una matriz simetrica A Factorizacion A L D L T displaystyle A LDL T donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y L T displaystyle L T denota su matriz traspuesta La factorizacion es unica Existencia Una condicion suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero Notas Si la matriz es definida positiva la factorizacion existe y es unica siendo los elementos de la diagonal positivos Factorizacion de Cholesky Editar Aplicable a una matriz simetrica definida positiva A Factorizacion A L L T displaystyle A LL T donde L es una matriz triangular inferior con entradas en la diagonal positivas Notas La factorizacion siempre existe y es unica Factorizacion QR o triangularizacion ortogonal Editar Aplicable a una matriz A m por n Factorizacion A Q R displaystyle A QR donde Q es una matriz ortogonal m por m y R es una matriz triangular superior m por n Metodos de calculo La factorizacion QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalizacion de Gram Schmidt aplicado a las columnas de A mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens Notas La factorizacion QR puede utilizarse para resolver el sistema de ecuaciones lineales Ax b cuando el numero de ecuaciones es distinto al de incognitas Descomposicion en valores singulares Editar Aplicable a una matriz A m por n Factorizacion A U S V T displaystyle A U Sigma V T donde S es una matriz diagonal mxn y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente siendo V T displaystyle V T la traspuesta de V Los elementos de la diagonal de S son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero Notas a la matriz V S U T displaystyle V Sigma U T donde S displaystyle Sigma es igual a la matriz S reemplazando los valores singulares por sus reciprocos se le llama pseudoinversa de A Otros tipos de factorizaciones EditarDiagonalizacion de una matriz Editar Aplicable a una matriz cuadrada A Factorizacion A CDC 1 Existencia Forma canonica de Jordan Editar Aplicable a una matriz cuadrada B Factorizacion Factorizacion de rango Editar Aplicable a una matriz A de dimensiones m n displaystyle m times n Factorizacion A C F displaystyle A CF donde C displaystyle C es una matriz m r displaystyle m times r y F displaystyle F es una matriz r n displaystyle r times n Factorizacion de Schur Editar Aplicable a una matriz cuadrada A Factorizacion Tridiagonalizacion Editar Aplicable a una matriz cuadrada simetrica A Factorizacion Referencias Editar De La Fuente O Connor 1998 pp 26 27Bibliografia EditarDe La Fuente O Connor Jose Luis 1998 Tecnicas de calculo para Sistemas de Ecuaciones Programacion Lineal y Programacion Entera Barcelona Reverte S A ISBN 978 84 291 2606 8 Datos Q1361088 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Factorizacion de matrices amp oldid 120678047, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,