Menor (álgebra lineal)

En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz ${\displaystyle A}$ es el determinante de alguna submatriz, obtenido de ${\displaystyle A}$ mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

Definición

Sea ${\displaystyle A}$  una matriz de ${\displaystyle m\times n}$  y ${\displaystyle k}$  un entero con ${\displaystyle 0<k\leq \min\{m,n\}}$ , un menor de orden ${\displaystyle k\times k}$  de ${\displaystyle A}$  es el determinante de una matriz ${\displaystyle k\times k}$  obtenida de ${\displaystyle A}$  mediante la eliminación de ${\displaystyle m-k}$  filas y ${\displaystyle n-k}$  columnas.

Puesto que hay:

${\displaystyle {m \choose k}}$  (leído como "m combinaciones de k")

maneras de escoger ${\displaystyle k}$  filas de ${\displaystyle m}$  filas, y hay

${\displaystyle {n \choose k}}$ 

maneras de escoger ${\displaystyle k}$  columnas de ${\displaystyle n}$  columnas, hay en total

${\displaystyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ 

menores de tamaño ${\displaystyle k\times k}$ .

Notación

El menor ${\displaystyle (i,j)}$  (a menudo denotado como ${\displaystyle M_{ij}}$ ) de una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$  de ${\displaystyle n\times n}$ , es definido como el determinante de la matriz ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$  formada mediante la eliminación de la ${\displaystyle i}$ -ésima fila y la ${\displaystyle j}$ -ésima columna de ${\displaystyle A}$ . Un menor ${\displaystyle (i,j)}$  puede ser referido también como ${\displaystyle (i,j)}$ -ésimo menor, o simplemente menor ${\displaystyle ij}$  .

${\displaystyle M_{ij}}$  puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento a_ij de la matriz ${\displaystyle A}$ , en cuyo caso decimos que ${\displaystyle M_{ij}}$  es el menor de ${\displaystyle a_{ij}}$ 

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada ${\displaystyle A}$  (tal como ${\displaystyle M_{ij}}$ ) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.^[1]​

Menores de una matriz

El determinante de cualquier submatriz de ${\displaystyle k\times k}$  de ${\displaystyle A}$  se llama menor de tamaño ${\displaystyle k}$ .

• Si la submatriz es una submatriz principal, su determinante es un menor principal.

Tomando ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}}$  La submatriz ${\displaystyle B}$  = ${\displaystyle A[\{1,2\}]}$  = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$  es una submatriz principal y su determinante ${\displaystyle |A|=(1)(1)-(2)(-1)=3}$  es un menor principal.

• Si la submatriz es una submatriz principal superior, su determinante es un menor principal superior.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}}$ En la misma matriz, las submatrices superiores son: ${\displaystyle A_{1}=A[{1}]={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$ ; ${\displaystyle A_{2}=A[{1,2}]={\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$ ; ${\displaystyle A_{3}=A[{1,2,3}]={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}=A}$  Los determinantes de las submatrices |${\displaystyle A_{1}}$ | = 1, |${\displaystyle A_{2}}$ | = 3, |${\displaystyle A_{3}|}$  = 26 son los menores escalonados superiores.

• Si las submatriz es una submatriz principal inferior, su determinante es un menor principal inferior.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&4&3\\2&1&5\\2&0&5\end{bmatrix}}}$  Las submatrices escalonadas inferiores de A son: ${\displaystyle A_{1}=A[{1}]={\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}}$  ;${\displaystyle A_{2}=A[{1,2}]={\begin{bmatrix}1&5\\0&5\\\end{bmatrix}}}$  ;${\displaystyle A_{3}=A[{1,2,3}]={\begin{bmatrix}5&4&3\\2&1&5\\2&0&5\end{bmatrix}}=A}$  Los determinantes de las submatrices ${\displaystyle |A_{1}|=1}$  , ${\displaystyle |A_{2}|=5}$  , ${\displaystyle |A_{3}|=19}$  son los menores inferiores principales.^[2]​

Véase también

• Determinante (matemática)
• Matriz de adjuntos
• Matriz traspuesta conjugada

Referencias

1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
2. Horn R.A., Johnson C.R. (2013). Matrix Analysis. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Minor». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1341061