El concepto de esperanza condicional es extremadamente importante en la teoría de la medida de Andréi Kolmogórov -medida teórica definición de la teoría de probabilidades. De hecho, el propio concepto de probabilidad condicional es en realidad definida en términos de esperanza condicional. En el caso de una variable aleatoria se define sobre un espacio de probabilidad discreto las "condiciones" se toman sobre una partición de dicho espacio de probabilidad. Esta definición se puede generalizar a cualquier espacio de probabilidad mediante la teoría de la medida.
Introducción
Sean X e Y dos variables aleatorias discretas, a continuación, la expectativa condicional de X dado el caso Y = y es una función de y sobre el rango de Y
donde es el rango de X. Si ahora X es una variable aleatoria continua , mientras que Y sigue siendo una variable discreta, la expectativa condicional es:
donde es la densidad condicional de dado . Un problema surge cuando Y es continua. En este caso, la probabilidad P (Y = y) = 0, y la paradoja de Borel-Kolmogorov demuestra la ambigüedad de intentar definir probabilidad condicional a lo largo de estas líneas. Sin embargo, la expresión anterior puede ser reorganizada:
y aunque esto es trivial para valores individuales de y (ya que ambos lados son iguales a cero), se debe mantener para cualquier subconjunto medible B del dominio de Y que:
De hecho, esta es una condición suficiente para definir tanto la expectativa condicional y probabilidad condicional.
una variable aleatoria en dicho espacio de probabilidad con esperanza finita, es decir, , y
una sub--álgebra de .
Como es una sub -álgebra de , la función no es, en general, -medible, por lo que no puede asumirse la existencia de integrales de la forma , donde y es la restricción de a . Sin embargo, los promedios locales pueden recuperarse en gracias al concepto de esperanza condicionada. Una esperanza condicionada de X dado , denotada por , es cualquier función -medible que satisfaga
para todo .
La existencia de puede demostrarse observando que for es una medida finita en que es absolutamente continua respecto a . Sea la inyección natural de a ; entonces es la restricción de a y es la restricción de a . Además, es absolutamente continua respecto a , puesto que la condición
implica
Por tanto, podemos definir la esperanza condicionada de respecto a como la derivada de Radon-Nikodym de la medida respecto a en , es decir,
que claramente satisface la definición de esperanza condicionada introducida anteriormente.
Referencias
Datos:Q772232
Agosto 05, 2021
esperanza, condicional, teoría, probabilidad, esperanza, condicional, variable, aleatoria, también, conocido, como, valor, esperado, condicional, media, condicional, valor, esperado, dicha, variable, respecto, distribución, probabilidad, condicional, concepto,. En teoria de la probabilidad una esperanza condicional de una variable aleatoria tambien conocido como valor esperado condicional o media condicional es el valor esperado de dicha variable respecto a una distribucion de probabilidad condicional El concepto de esperanza condicional es extremadamente importante en la teoria de la medida de Andrei Kolmogorov medida teorica definicion de la teoria de probabilidades De hecho el propio concepto de probabilidad condicional es en realidad definida en terminos de esperanza condicional En el caso de una variable aleatoria se define sobre un espacio de probabilidad discreto las condiciones se toman sobre una particion de dicho espacio de probabilidad Esta definicion se puede generalizar a cualquier espacio de probabilidad mediante la teoria de la medida Introduccion EditarSean X e Y dos variables aleatorias discretas a continuacion la expectativa condicional de X dado el caso Y y es una funcion de y sobre el rango de Y E X Y y x X x P X x Y y x X x P X x Y y P Y y displaystyle mathbb E X Y y sum x in mathcal X x operatorname P X x Y y sum x in mathcal X x frac operatorname P X x Y y operatorname P Y y donde X displaystyle mathcal X es el rango de X Si ahora X es una variable aleatoria continua mientras que Y sigue siendo una variable discreta la expectativa condicional es E X Y y X x f X Y x Y y d x X x f X Y x y f Y y d x displaystyle mathbb E X Y y int mathcal X xf X Y x Y y text d x int mathcal X x frac f X Y x y f Y y text d x donde f X Y Y y displaystyle f X Y cdot Y y es la densidad condicional de X displaystyle X dado Y y displaystyle Y y Un problema surge cuando Y es continua En este caso la probabilidad P Y y 0 y la paradoja de Borel Kolmogorov demuestra la ambiguedad de intentar definir probabilidad condicional a lo largo de estas lineas Sin embargo la expresion anterior puede ser reorganizada E X Y y P Y y x X x P X x Y y displaystyle mathbb E X Y y operatorname P Y y sum x in mathcal X x operatorname P X x Y y y aunque esto es trivial para valores individuales de y ya que ambos lados son iguales a cero se debe mantener para cualquier subconjunto medible B del dominio de Y que B E X Y y P Y y d y B x X x P X x Y y d y displaystyle int B mathbb E X Y y operatorname P Y y operatorname d y int B sum x in mathcal X x operatorname P X x Y y operatorname d y De hecho esta es una condicion suficiente para definir tanto la expectativa condicional y probabilidad condicional Definicion formal EditarSean W F P displaystyle Omega mathcal F P un espacio de probabilidad X W R n displaystyle X colon Omega to mathbb R n una variable aleatoria en dicho espacio de probabilidad con esperanza finita es decir E X lt displaystyle E X lt infty y H F displaystyle mathcal H subseteq mathcal F una sub s displaystyle sigma algebra de F displaystyle mathcal F Como H displaystyle mathcal H es una sub s displaystyle sigma algebra de F displaystyle mathcal F la funcion X W R n displaystyle X colon Omega to mathbb R n no es en general H displaystyle mathcal H medible por lo que no puede asumirse la existencia de integrales de la forma H X d P H textstyle int H X dP mathcal H donde H H displaystyle H in mathcal H y P H displaystyle P mathcal H es la restriccion de P displaystyle P a H displaystyle mathcal H Sin embargo los promedios locales H X d P textstyle int H X dP pueden recuperarse en W H P H displaystyle Omega mathcal H P mathcal H gracias al concepto de esperanza condicionada Una esperanza condicionada de X dado H displaystyle mathcal H denotada por E X H displaystyle operatorname E X mid mathcal H es cualquier funcion H displaystyle mathcal H medible W R n displaystyle Omega to mathbb R n que satisfaga H E X H d P H X d P displaystyle int H operatorname E X mid mathcal H mathrm d P int H X mathrm d P para todo H H displaystyle H in mathcal H La existencia de E X H displaystyle operatorname E X mid mathcal H puede demostrarse observando que m X F F X d P textstyle mu X colon F mapsto int F X mathrm d P for F F displaystyle F in mathcal F es una medida finita en W F displaystyle Omega mathcal F que es absolutamente continua respecto a P displaystyle P Sea h displaystyle h la inyeccion natural de H displaystyle mathcal H a F displaystyle mathcal F entonces m X h m X H displaystyle mu X circ h mu X mathcal H es la restriccion de m X displaystyle mu X a H displaystyle mathcal H y P h P H displaystyle P circ h P mathcal H es la restriccion de P displaystyle P a H displaystyle mathcal H Ademas m X h displaystyle mu X circ h es absolutamente continua respecto a P h displaystyle P circ h puesto que la condicion P h H 0 P h H 0 displaystyle P circ h H 0 iff P h H 0 implica m X h H 0 m X h H 0 displaystyle mu X h H 0 iff mu X circ h H 0 Por tanto podemos definir la esperanza condicionada de X displaystyle X respecto a H displaystyle mathcal H como la derivada de Radon Nikodym de la medida m X H displaystyle mu X mathcal H respecto a P H displaystyle P mathcal H en W H displaystyle Omega mathcal H es decir E X H d m X H d P H d m X h d P h displaystyle operatorname E X mid mathcal H frac mathrm d mu X mathcal H mathrm d P mathcal H frac mathrm d mu X circ h mathrm d P circ h que claramente satisface la definicion de esperanza condicionada introducida anteriormente Referencias Editar Datos Q772232Obtenido de https es wikipedia org w index php title Esperanza condicional amp oldid 129315524, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,