Espacio prehilbertiano

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par ${\displaystyle (V,\langle \cdot |\cdot \rangle )}$, donde ${\displaystyle V\,}$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ es un producto escalar en ${\displaystyle V\,}$.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base ${\displaystyle \mathbb {K} }$ sea ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, así ningún espacio prehilbertiano sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ puede ser un espacio de Hilbert.

Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser ${\displaystyle \mathbb {R} }$  o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbf {K} }$ 

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

• Hermítica.

${\displaystyle \forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.}$ 

Nótese que si ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ , la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle .}$ 

Esta condición implica que ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$  para todo ${\displaystyle x\in V}$ , porque ${\displaystyle \langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}}$ .

• Sesquilineal:

${\displaystyle \forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .}$ 

${\displaystyle \forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .}$ 

Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:

${\displaystyle \forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .}$ 

${\displaystyle \forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .}$ 

En el caso de que el cuerpo sea ${\displaystyle \mathbb {R} }$  esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.

• Definida positiva:

${\displaystyle \forall x\in V,\ \langle x,x\rangle \geq 0.}$  (Tiene sentido, ya que ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$  para todo ${\displaystyle x\in V}$ .)

Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo, es decir:

${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\;\;\Leftrightarrow \;\;x=0.}$ 

Normas en espacios prehilbertianos

En los espacios con producto escalar se define una norma

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$ 

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacios euclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:

• ${\displaystyle \|x\|}$  es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.

• Homogeneidad: para todo vector x y r un escalar:

${\displaystyle \|r\cdot x\|=|r|\cdot \|x\|.}$ 

• Desigualdad triangular: para todo vector x e y

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$ 

Usando los axiomas ya mencionados podemos demostrar los siguientes teoremas:

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: para x, y elementos en V

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|}$ 

la igualdad se cumple si y solo si x e y son linealmente dependientes

Esta es una de la más importantes desigualdades en la matemática. También es conocida en la literatura matemático rusa como la desigualdad Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prueba de este teorema y sus aplicaciones pueden encontrarse en el artículo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz

• Ley del paralelogramo:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$ 

• Teorema de Pitágoras: Sean x, y vectores ortogonales, entonces

${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$ 

Estas últimas dos identidades sólo requieren expresar la definión de la norma en términos del producto interno, hacer las operaciones y usar los axiomas de norma.

Una fácil generalización del teorema pitagórico que puede ser probada por inducción es la siguiente:

• Si x₁, ..., x_n son vectores ortogonales, o sea, <x_j, x_k> = 0 para todo j, k distinto, entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$ 

Ejemplos

• Un ejemplo trivial son los números reales con la multiplicación estándar como producto interno.

${\displaystyle \langle x,y\rangle :=xy}$ 

• Más generalmente, cualquier espacio Euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  con el producto escalar es un espacio con producto interno.

${\displaystyle \langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}}$ 

tenemos la norma:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$ 

Véase también

• Espacio de Hilbert

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Espacio prehilbertiano», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

•   Datos: Q214159