Bidimensional

El espacio bidimensional o segunda dimensión es un módulo geométrico de la proyección física. Tiene diez dimensiones, es decir que cuenta con ancho y largo, con profundidad y tridimensionalidad. Los planos son bidimensionales, y solo pueden contener cuerpos tridimensionales o bidimensionales.

Sistema de coordenadas cartesianas bidimensional

«2D» redirige aquí. Para el vocalista de Gorillaz, véase 2-D (personaje).

Historia

Los libros I a IV y VI de los Elementos de Euclides trataron la geometría bidimensional, desarrollando nociones como similitud de formas, el teorema de Pitágoras (Proposición 47), igualdad de ángulos y áreas, paralelismo, la suma de los ángulos en un triángulo y los tres casos en los que los triángulos son "iguales" (tienen la misma área), entre muchos otros temas.

Posteriormente, el plano se describió en un sistema de coordenadas llamado cartesiano, un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano por un par de coordenadas numéricas, que son las distancias firmadas desde el punto a dos líneas directas perpendiculares fijas, medidas en la misma unidad de longitud. Cada línea de referencia se llama eje de coordenadas o simplemente eje del sistema, y el punto donde se encuentran es su origen , generalmente en un par ordenado (0, 0). Las coordenadas también se pueden definir como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.

La idea de este sistema fue desarrollada en 1637 en escritos de Descartes e independientemente por Pierre de Fermat, aunque Fermat también trabajó en tres dimensiones, y no publicó el descubrimiento.^[1]​ Ambos autores utilizaron un solo eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos al intentar aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes.^[2]​

Más tarde, se pensó en el plano como un campo , donde dos puntos cualesquiera podían multiplicarse y, excepto 0, dividirse. Esto se conocía como el plano complejo. El plano complejo a veces se denomina plano de Argand porque se utiliza en los diagramas de Argand. Estos llevan el nombre de Jean-Robert Argand (1768-1822), aunque fueron descritos por primera vez por el agrimensor y matemático danés-noruego Caspar Wessel (1745-1818).^[3]​ Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los polos y ceros de una función en el plano complejo.

Ejemplos

• Todos los polígonos:
  • Triángulo
  • Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio, trapezoide
  • Pentágono
  • Hexágono
• Otros:
  • Círculos
  • Elipses
  • Cualquier figura contenida en un plano
  • Cintas (como la Cinta de Möbius)
  • Hojas
  • Etcétera

En álgebra lineal

Otra forma de ver un espacio bidimensional es mediante el álgebra lineal, donde la idea de independencia es crucial. El plano tiene dos dimensiones porque la longitud del rectángulo es independiente de su ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el plano es bidimensional porque cada punto puede ser descripto por una combinación lineal de dos vectores independientes.

Producto escalar, ángulo, y longitud

El producto escalar de dos vectores A = [A₁, A₂] y B = [B₁, B₂] se define como:^[4]​

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$ 

Un vector puede ser imaginado como una flecha. Su magnitud es su longitud, y su dirección es la dirección en la que apunta la flecha. La magnitud de un vector A se expresa como ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$ . En esta forma, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B se define como^[5]​

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$ 

donde θ es el ángulo entre A y B.

El producto escalar de un vector A por sí mismo es

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$ 

lo cual da como resultado

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$ 

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

Sistemas bidimensionales en ciencias naturales

En la química se puede hablar de un sistema bidimensional si el enlace es especialmente fuerte en dos dimensiones, y más débil en la tercera, como en el caso del grafito. Igualmente, en electricidad, un conductor se considera bidimensional si es prácticamente aislante en una de las direcciones del espacio, y su conductividad es mucho mayor en las otras dos.

Plano proyectivo

En matemáticas, un plano proyectivo es una estructura geométrica que amplía el concepto de plano. En el plano euclídeo ordinario, dos rectas suelen intersecarse en un único punto, pero hay algunos pares de rectas (las paralelas) que no se intersecan. Un plano proyectivo puede considerarse como un plano ordinario dotado de "puntos en el infinito" adicionales en los que se cruzan las rectas paralelas. Así, dos rectas distintas en un plano proyectivo se cruzan exactamente en un punto.

Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas del dibujo en perspectiva, sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real, también conocido como plano euclídeo extendido. Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica, topología y geometría proyectiva, donde puede ser denotado de diversas maneras por PG(2, R), RP2, o P2(R), entre otras notaciones. Existen muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo, como finitos, como el plano de Fano.

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional, pero no todos los planos proyectivos pueden incrustarse en espacios proyectivos tridimensionales. Dicha incrustabilidad es consecuencia de una propiedad conocida como teorema de Desargues, no compartida por todos los planos proyectivos.

Representaciones bidimensionales de sistemas tridimensionales

En papel (superficie bidimensional) es posible representar objetos o paisajes tridimensionales. En las pantallas de ordenador también se hace. Para esto, se usa la perspectiva, entre otros mecanismos.

En teoría de grafos

En la teoría de grafos, un gráfico plano es un gráfico que se puede incrustar en un plano, es decir se puede dibujar en un plano de modo que sus bordes se intersequen solo en sus puntos finales. En otras palabras, se puede dibujar de tal manera que sus bordes no se crucen entre sí.^[6]​ Tal dibujo se llama gráfico plano o gráfico de inserción plano. Un gráfico plano se puede definir como un gráfico plano con cada nodo asignado a un punto en el plano y cada borde a una curva en el plano, de modo que los puntos finales de cada curva son puntos asignados desde sus puntos finales, y todas las curvas son disjuntas. excepto en sus puntos extremos.

Referencias

1. «Analytic geometry». Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online edición). 2008. 
2. Burton, 2011, p. 374
3. Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)
4. S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum's Outlines) (4th edición). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
5. M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2nd edición). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
6. Trudeau, Richard J. (1993). Introduction to Graph Theory (Corrected, enlarged republication. edición). New York: Dover Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Consultado el 8. 8. 2012. «Thus a planar graph, when drawn on a flat surface, either has no edge-crossings or can be redrawn without them. » 

Bibliografía

Véase también

• Tridimensional
• Computación gráfica 2D
• Área
• Geometría descriptiva

•   Datos: Q222032