Distribución de Rademacher

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución Rademacher (que lleva el nombre de Hans Rademacher) es una distribución discreta de probabilidad que una variable aleatoria X tiene una probabilidad del 50% de ser +1 o -1.^[1]​

Una serie de Rademacher distribuye las variables pueden considerarse como un simple camino aleatorio simétrico, donde el tamaño del paso es 1.

Formulación matemática

La función de masa de probabilidad de esta distribución es

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$ 

Puede también ser escrito como una función de densidad de probabilidad, en términos de la función delta de Dirac, como:

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$ 

Límite van Zuijlen

Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.^[2]​

Sea X i sea un conjunto de Rademacher independiente distribuido variables aleatorias. Entonces

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}{\Bigl |}{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}{\Bigr |}\leq 1)\geq 0.5.}$ 

La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).

Límites sobre sumas

Sea { X_i } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea {a i} una sucesión de números reales. Entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>t||a||_{2})\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$ 

donde ||a||₂ es la norma euclidiana de la secuencia { a_i }, t > 0 es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.^[3]​

También si ||a||₁ es finito entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>||a||_{1})=0}$ 

donde || a ||₁ es el 1-norma de la secuencia { a_i }.

Sea Y = Σ X_ia_i y sea Y casi seguramente convergente serie en un espacio de Banach . El para t> 0 y s ≥ 1 tenemos:^[4]​

${\displaystyle Pr(||Y||>st)\leq [{\frac {1}{c}}Pr(||Y||>t)]^{cs^{2}}}$ 

para alguna constante c.

Sea p un número real positivo. Entonces^[5]​

${\displaystyle c_{1}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}\leq (E[|\sum {a_{i}X_{i}}|^{p}])^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}}$ 

donde c₁ y c₂ son constantes que dependen sólo de la p.

Para p ≥ 1

${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}}$ 

Aplicaciones

La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.

La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.

Distribuciones relacionadas

Distribución de Bernoulli: Si X tiene una distribución Rademacher luego ${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$  tiene una Bernoulli (media) de distribución.

Referencias

1. Hitczenko P, Kwapień S (1994) On the Rademacher series. Progress in probability 35: 31-36
2. van Zuijlen Martien CA (2011) On a conjecture concerning the sum of independent Rademacher random variables. http://arxiv.org/abs/1112.4988
3. MontgomerySmith SJ (1990) The distribution of Rademacher sums. Proc Amer Math Soc 109: 517522
4. Dilworth SJ, Montgomery-Smith SJ (1993) The distribution of vector-valued Radmacher series. Ann Probab 21 (4) 2046-2052
5. Khintchine A (1923) Über dyadische Brüche. Math Zeitschr 18: 109–116

•   Datos: Q370687