Distribución de Pareto

Para otros usos de este término, véase Pareto (desambiguación).

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución Pareto es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía.^[1]​ Fue formulada por el ingeniero civil, economista y sociólogo Vilfredo Pareto, aunque en ciertas áreas de estudio se hace referencia a la ley de Bradford. Cabe señalar que el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Pareto
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  (k) con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad
Funciones de densidad de distribución para diferentes α  (k) con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0\,}$ escala (real) ${\displaystyle \alpha >0\,}$ forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x>x_{m}\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!}$
Media	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,}$
Mediana	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
Moda	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,}$
Curtosis	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,}$
Entropía	${\displaystyle \ln \left({\frac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	No existe
Función característica	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}$
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Cuando la distribución de Pareto es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro ${\displaystyle \alpha }$ es conocido como índice de Pareto.

Definición

Notación

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria continua con distribución Pareto con parámetros ${\displaystyle \alpha >0}$  y ${\displaystyle x_{m}>0}$  entonces escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})}$ .

Función de densidad

La función de densidad de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})}$  es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}}$ 

para ${\displaystyle x_{m}\leq x}$ .

Probabilidad acumulada

La función de distribución de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})}$  es, para ${\displaystyle x_{m}\leq x}$ ,

${\displaystyle F_{X}(x)=1-\left({\frac {x_{m}}{x}}\right)^{\alpha }}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})}$  entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,}$ 

con ${\displaystyle \alpha >1}$ .

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ 

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)={\frac {\alpha x_{m}^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}}$ 

para ${\displaystyle \alpha >2}$ .

Momentos

El ${\displaystyle n}$ -ésimo momento sólo está definido para ${\displaystyle n<\alpha }$  y en tal caso es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}}$ 

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es

${\displaystyle M_{X}(t)=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$ 

y está definida para valores ${\displaystyle t<0}$ .

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\delta (x-x_{\mathrm {m} }).\,}$ 

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:^[2]​

${\displaystyle f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}.\end{cases}}}$ 

Distribución Generalizada de Pareto

Pareto Generalizado
Parámetros	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$  localización (real) ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}$  escala (real) ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}$  forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$  ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}$  where ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Media	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}$
Mediana	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}$
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La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros ${\displaystyle \mu ,\sigma \,}$  y ${\displaystyle \xi \,}$ .

La función de probabilidad acumulada es

${\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}}$ 

Para ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ , con ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$ , y ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$  con ${\displaystyle \xi <0\,}$ , donde ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$  es el parámetro localización, ${\displaystyle \sigma >0\,}$  es el parámetro escala y ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$  es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como ${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$ .

La función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.}$ 

o

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.}$ 

de nuevo, para ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ , y ${\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$  si ${\displaystyle \xi <0\,}$ 

Aplicación

 

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Pareto a lluvias diarias máximas.^[3]​

En la hidrología, se utiliza la distribución de Pareto para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,^[4]​ y además para describir épocas de sequía.^[5]​

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

• Easy fit el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq, sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Bibliografía

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Referencias

1. Guerriero, V. (2012). . Journal of Modern Mathematics Frontier. Archivado desde el original el 21 de febrero de 2018. Consultado el 30 de octubre de 2017. 
2. Grabchak, M. & Samorodnitsky, D. «Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation». pp. 7-8. 
3. CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
4. Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P., ed. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 
5. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035. 

Véase también

• Distribución de Weibull

Enlaces externos

• Calculadora - Distribución de Pareto

•   Datos: Q837683
•   Multimedia: Pareto distribution