Distribución de Landau

En teoría de la probabilidad, la distribución de Landau^[1]​ es una distribución de probabilidad nombrada en honor a Lev Landáu. Debido a la cola "pesada" de la distribución, los momentos de la distribución, como la media o la varianza, no están definidos. Esta distribución es un caso particular de distribución estable.

Distribución de Landau
Función de densidad de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ — parámetro de escala ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ — parámetro de locación
Dominio	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt}$
Media	Indefinida
Varianza	Indefinida
Función generadora de momentos (mgf)	Indefinida
Función característica	${\displaystyle \exp \left(it\mu -{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$
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Definición

La función de densidad de probabilidad, tal como fue escrita originalmente por Landau, está definida por la integral compleja:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$ 

donde a es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser cualquier paralela al eje imaginario que se interseque con el semieje real positivo, y ${\displaystyle \log }$  se refiere al logaritmo natural.

La siguiente integral real es equivalente a la anterior:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$ 

La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables con parámetros de estabilidad ${\displaystyle \alpha =1}$  y de asimetría ${\displaystyle \beta =1}$ ,^[2]​ con la función característica:^[3]​

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right),}$ 

donde ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$  y ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ , que produce una función de densidad:

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt.}$ 

Observemos que la forma original de ${\displaystyle p(x)}$  se obtiene para ${\displaystyle \mu =0}$  y ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$ , mientras que la siguiente es una aproximación^[4]​ de ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$  para ${\displaystyle \mu =0}$  y ${\displaystyle c=1}$ :

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$ 

Distribuciones relacionadas

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$  entonces ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$ .
• La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad ${\displaystyle \alpha }$  y parámetro de asimetría ${\displaystyle \beta }$  ambos iguales a 1.

Referencias

1. Landau, L. (1944). «On the energy loss of fast particles by ionization». J. Phys. (USSR) 8: 201. 
2. Gentle, James E. (2003). Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing (2nd edición). New York, NY: Springer. p. 196. ISBN 978-0-387-00178-4. doi:10.1007/b97336. 
3. Zolotarev, V.M. (1986). One-dimensional stable distributions. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4519-5. 
4. Behrens, S. E.; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981). 

•   Datos: Q3258337