En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,
Teorema:
Para una familia finita o numerable de sucesos A1, A2, A3, ..., se cumple:
Demostración
Familia finita
Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita de sucesos.
Se trata de probar que .
La desigualdad es cierta para . Supuesta cierta para un dado, se considera una familia de sucesos.
Sea : (hipótesis de inducción).
Entonces: ,
de donde: .
Familia numerable
Ahora se trata el caso de una familia numerable de sucesos.
Para todo número natural (distinto de cero), sea ; entonces .
La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre ; en efecto y para todo , , entonces .
Otro método
Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea y para todo , .
Entonces , y los sucesos son incompatibles dos a dos; por otra parte, para todo , entonces ( es creciente).
De todo esto, se deduce que .
Teoría de la medida
En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.
Desigualdades de Bonferroni
Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos.
Sean:
y para 2 < k ≤ n,
donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n.
Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ k ≤ n
y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ k ≤ n
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