Decimoséptimo problema de Hilbert

El decimoséptimo problema de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), se refiere a la expresión de las funciones racionales positivas definidas como sumas de cocientes de cuadrados. La pregunta original puede reformularse como:

• Dado un polinomio multivariable que toma solo valores no negativos sobre los números reales, ¿se puede representar como una suma de cuadrados de funciones racionales?

La pregunta de Hilbert se puede restringir a polinomios homogéneos de grado par, ya que un polinomio de grado impar cambia de signo, y los polinomios homogéneos solo toman valores no negativos si y solo si lo mismo es cierto para el polinomio.

Motivación

Artículo principal: Suma de cuadrados polinómica

La formulación de la pregunta tiene en cuenta que existen polinomios no-negativos, por ejemplo^[1]​

${\displaystyle f(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2},}$ 

que no se puede representar como suma de cuadrados de otros polinomios. En 1888, Hilbert demostró que cada polinomio homogéneo no negativo en n variables y grado 2d se puede representar como suma de cuadrados de otros polinomios si y solo si (a) n=2 o (b) 2d=2 o (c) n= 3 y 2d=4.^[2]​ La demostración de Hilbert no mostró ningún contraejemplo explícito: solo en 1967 Motzkin construyó el primer contraejemplo explícito.^[3]​

La siguiente tabla resume en qué casos un polinomio homogéneo (o un polinomio de grado par) se puede representar como una suma de cuadrados:

¿El polinomio homogéneo se puede representar como suma de cuadrados?		2d (Grado)				¿El polinomio de grado par se puede representar como suma de cuadrados?		2d (Grado)
		2	4	≥6				2	4	≥6
n (Número de variables)	1	Sí	Sí	Sí		n (Número de variables)	1	Sí	Sí	Sí
	2	Sí	Sí	Sí			2	Sí	Sí	No
	3	Sí	Sí	No			3	Sí	No	No
	≥4	Sí	No	No			≥4	Sí	No	No

Solución y generalizaciones

El caso particular de n=2 ya fue resuelto por Hilbert en 1893.^[4]​ El problema general fue resuelto afirmativamente, en 1927, por Emil Artin,^[5]​ para funciones semidefinitas positivas sobre los números reales, o más generalmente los cuerpos cerrados reales. Charles Delzell encontró una solución algorítmica en 1984.^[6]​ Un resultado de Albrecht Pfister^[7]​ muestra que una forma semidefinida positiva en n variables se puede expresar como una suma de 2ⁿ cuadrados.^[8]​

Dubois demostró en 1967 que la respuesta es negativa en general para los cuerpos ordenados.^[9]​ En este caso se puede decir que un polinomio positivo es una suma de cuadrados ponderados de funciones racionales con coeficientes positivos.^[10]​

Gondard, Ribenboim^[11]​ y Procesi, Schacher,^[12]​ dieron una generalización al caso de la matriz (las matrices con entradas de función polinómica que siempre son semidefinidas positivas se pueden expresar como suma de cuadrados de matrices simétricas con entradas de función racionales) mediante una prueba elemental dada por Hillar y Nie.^[13]​

Número mínimo de términos racionales cuadrados

Es una pregunta abierta cuál es el número más pequeño

${\displaystyle v(n,d),}$ 

de manera que cualquier polinomio no negativo de n variables de grado d pueda escribirse como la suma de como máximo ${\displaystyle v(n,d)}$  funciones racionales cuadradas sobre los números reales.

El resultado más conocido (a 2008) es

${\displaystyle v(n,d)\leq 2^{n},}$ 

debido a Pfister en 1967.^[7]​

En el análisis complejo, el análogo hermítico, que requiere que los cuadrados sean normas cuadradas de aplicaciones holomórficas, es algo más complicado, pero cierto para polinomios positivos según un resultado obtenido por Quillen.^[14]​ El resultado de Pfister, por otro lado, falla en el caso hermítico, es decir, no hay límite en el número de cuadrados requeridos, véase D'Angelo-Lebl.^[15]​

Véase también

• Suma de cuadrados polinómica
• Polinomio positivo
• Optimización de suma de cuadrados
• Convexidad de suma de cuadrados

Referencias

1. Marie-Françoise Roy. The role of Hilbert's problems in real algebraic geometry. Proceedings of the ninth EWM Meeting, Loccum, Germany 1999
2. Hilbert, David (September 1888). «Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten». Mathematische Annalen 32 (3): 342-350. doi:10.1007/bf01443605. 
3. Motzkin, T. S. (1967). «The arithmetic-geometric inequality». En Shisha, Oved, ed. Inequalities. Academic Press. pp. 205-224. 
4. Hilbert, David (December 1893). «Über ternäre definite Formen». Acta Mathematica 17 (1): 169-197. doi:10.1007/bf02391990. 
5. Artin, Emil (1927). «Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5 (1): 100-115. doi:10.1007/BF02952513. 
6. Delzell, C.N. (1984). «A continuous, constructive solution to Hilbert's 17th problem». Inventiones Mathematicae 76 (3): 365-384. Bibcode:1984InMat..76..365D. Zbl 0547.12017. doi:10.1007/BF01388465. 
7. Pfister, Albrecht (1967). «Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten». Inventiones Mathematicae (en alemán) 4 (4): 229-237. Bibcode:1967InMat...4..229P. Zbl 0222.10022. doi:10.1007/bf01425382. 
8. Lam (2005) p.391
9. Dubois, D.W. (1967). «Note on Artin's solution of Hilbert's 17th problem». Bull. Am. Math. Soc. 73 (4): 540-541. Zbl 0164.04502. doi:10.1090/s0002-9904-1967-11736-1. 
10. Lorenz (2008) p.16
11. Gondard, Danielle; Ribenboim, Paulo (1974). «Le 17e problème de Hilbert pour les matrices». Bull. Sci. Math. (2) 98 (1): 49-56. MR 432613. Zbl 0298.12104. 
12. Procesi, Claudio; Schacher, Murray (1976). «A non-commutative real Nullstellensatz and Hilbert's 17th problem». Ann. of Math. 2 104 (3): 395-406. JSTOR 1970962. MR 432612. Zbl 0347.16010. doi:10.2307/1970962. 
13. Hillar, Christopher J.; Nie, Jiawang (2008). «An elementary and constructive solution to Hilbert's 17th problem for matrices». Proc. Am. Math. Soc. 136 (1): 73-76. Zbl 1126.12001. arXiv:math/0610388. doi:10.1090/s0002-9939-07-09068-5. 
14. Quillen, Daniel G. (1968). «On the representation of hermitian forms as sums of squares». Invent. Math. 5 (4): 237-242. Bibcode:1968InMat...5..237Q. Zbl 0198.35205. doi:10.1007/bf01389773. 
15. D'Angelo, John P.; Lebl, Jiri (2012). «Pfister's theorem fails in the Hermitian case». Proc. Am. Math. Soc. 140 (4): 1151-1157. Zbl 1309.12001. arXiv:1010.3215. doi:10.1090/s0002-9939-2011-10841-4. 

Bibliografía

• Pfister, Albrecht (1976). «Hilbert's seventeenth problem and related problems on definite forms». En Felix E. Browder, ed. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. American Mathematical Society. XXVIII.2. American Mathematical Society. pp. 483-489. ISBN 0-8218-1428-1. 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer Science+Business Media. pp. 15-27. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 

•   Datos: Q2496877