Teorema de Ceva

El teorema de Ceva es un teorema de geometría elemental. El teorema establece que dado un triángulo ABC, y los puntos D, E, y F que se encuentran sobre los lados BC, CA, y AB respectivamente, los segmentos AD, BE y CF son concurrentes si y solo si

El teorema de Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC.

El teorema de Ceva, caso 2: el punto O se encuentra fuera de ABC.

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}$

donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).

Enunciado alternativo

Proposición directa

Sean A, B y C los vértices de un triángulo cualquiera y los puntos L, M y N dos puntos en sus respectivos lados opuestos. El teorema de Ceva expresa que si las rectas AL, BM y CN pasan por un mismo punto entonces

${\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1,}$ 

Proposición recíproca

Si en cada lado de un triángulo se escoge un punto (no coincidente con el vértice) de tal modo que el producto de las razones, en que los puntos señalados dividen los lados del triángulo, sea igual a 1, entonces las rectas que unen los vértices del triángulo y los puntos de lados opuestos pasan por un mismo centro (punto).En forma sucinta si ${\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1,}$  entonces Al, BM, y CN pasan por el mismo punto.^[1]​

Existe una forma trigonométrica equivalente del teorema de Ceva, que establece que , AD,BE,CF son concurrentes si y solo si

${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}=1.}$ 

Referencias

1. G.M. Bruño. Geometría superior

El teorema fue demostrado en 1678 por Giovanni Ceva en su trabajo De lineis rectis, pero con anterioridad por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, un rey de la taifa de Zaragoza del siglo XI.

Véase también

• Teorema de Routh
• Teorema de Menelaus - el dual del teorema de Ceva
• Geometría proyectiva
• Mediana (geometría) - un caso de su uso

Literatura consultable

• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995), «Ceva, Menelaus and the Area Principle», Mathematics Magazine 68 (4): 254-268, doi:10.2307/2690569 ..
• J. B. Hogendijk, "Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician," Historia Mathematica 22 (1995) 1-18.
• Landy, Steven. A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions. The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 10 (Dec., 1988), pp. 936-939
• Masal'tsev, L. A. (1994) "Incidence theorems in spaces of constant curvature." Journal of Mathematical Sciences, Vol. 72, No. 4
• Wernicke, Paul. The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension. The American Mathematical Monthly, Vol. 34, No. 9 (Nov., 1927), pp. 468-472

• Levi S. Shively. Introducción a la geometría moderna.
• Miltón Donaire Peña. Formas y números.

Enlaces externos

• en MathPages
• Bogomolny, Alexander. «Ceva's Theorem». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés). 
• Bogomolny, Alexander. «Trigonometric Form of Ceva's Theorem». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés). 
• Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
• Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
• Warendorff, Jay. «Ceva's Theorem». The Wolfram Demonstrations Project (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Ceva's Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q213603
•   Multimedia: Ceva's theorem