Cuadratriz de Hipias

Imagen fija: Punto S de la cuadratriz (color rojo), en el momento que E y F han completado el 60% de sus movimientos

La cuadratriz o trisectriz de Hipias (también llamada cuadratriz de Dinóstrato) es una curva que se crea mediante un movimiento uniforme. Es uno de los ejemplos más antiguos de una curva cinemática, creada a través del movimiento. Su descubrimiento se atribuye al sofista griego Hipias de Élide, quien la usó alrededor del año 420 a.C. para determinar la trisección de un ángulo (de ahí el nombre de trisectriz). Posteriormente, alrededor del año 350 a.C., Dinóstrato la usó para cuadrar el círculo (de ahí el nombre de cuadratriz).

Definición

 

Cuadratriz como una curva plana (a=1)

 

Cuadratriz como una función (a=1)

Considérese un cuadrado ABCD con un cuarto de círculo inscrito centrado en A, de modo que el lado del cuadrado sea el radio del círculo. Sea E un punto que se desplaza con una velocidad constante en el cuarto de círculo de D a B, y sea F un punto que se desplaza con una velocidad constante de D a A sobre el segmento AD, de tal manera que F y E comienzan el movimiento en D en el mismo momento. Además E llega a B al mismo tiempo que F llega a A. Entonces, la cuadratriz se define como el lugar geométrico de la intersección de la paralela a AB trazada por el punto F, que por tanto se va trasladando con el movimiento de F, con el segmento AE, que igualmente va girando alrededor del centro A según se traslada el punto E.^[1]​^[2]​

Si se coloca dicho cuadrado ABCD con longitud de lado a en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas con el lado AB en el eje x y el vértice A en el origen, entonces la cuadratriz se describe mediante una curva plana ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}}]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$  con:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)\\{\frac {2a}{\pi }}t\end{pmatrix}}}$ 

Si el dominio de ${\displaystyle x(t)}$  y ${\displaystyle y(t)}$  se extiende para incluir la recta real completa (excepto los puntos donde ${\displaystyle cot(t)}$  es infinito), estas ecuaciones describen una familia de curvas. El dominio de ${\displaystyle x(t)}$  puede ampliarse aún más para incluir t=0 porque ${\displaystyle \lim _{t\to 0}(t\cot(t))=1}$ . Si se define ${\displaystyle x(0)=1}$ , la curva es continua para ${\displaystyle (-\pi <t<\pi )}$ . ^[3]​^[4]​

Para describir la cuadratriz como una función simple en lugar de como una curva plana, es ventajoso cambiar el eje y y el eje x, es decir, colocar el lado AB en el eje y en lugar de en el eje x. Entonces la cuadratriz viene dada por la siguiente función:^[5]​^[6]​

${\displaystyle f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right)}$ 

Trisección angular

 

Compás para dibujar una cuadratriz

 

Trisección de un ángulo

La trisección de un ángulo arbitrario usando solo regla y compás es imposible. Sin embargo, si se permite utilizar la cuadratriz como una herramienta adicional, es posible dividir un ángulo arbitrario en n segmentos iguales, y por lo tanto, es posible efectuar una trisección (para n = 3). En términos prácticos, la cuadratriz se puede dibujar con la ayuda de una plantilla o un compás cuadratriz (véase el dibujo).^[1]​^[2]​

Dado que, según la definición de la cuadratriz, el ángulo atravesado es proporcional al segmento atravesado del lado de los cuadrados asociados que divide ese segmento del lado en n partes iguales, análogamente produce una partición del ángulo asociado también. Y dividir el segmento en n partes iguales con regla y compás es posible como se comprueba el teorema de Tales.

Para un ángulo dado BAE ( ≤ 90°) constrúyase un cuadrado ABCD sobre uno de sus lados AB. El otro tramo del ángulo interseca la cuadratriz del cuadrado en un punto G y la línea paralela al tramo AB a través de G cruza el lado AD del cuadrado en F. Ahora el segmento AF corresponde al ángulo BAE y debido a la definición de la cuadratriz cualquier división del segmento AF en n partes equidistantes produce una división correspondiente del ángulo BAE en n partes de igual tamaño. Para dividir el segmento AF en n partes equidistantes, procédase de la siguiente manera. Dibújese un rayo a con origen en A y luego dibújense n segmentos equidistantes (de longitud arbitraria) sobre él. Conéctese el punto final O del último segmento con F y dibujar líneas paralelas a OF a través de todos los puntos finales de los n − 1 segmentos restantes en AO. Estas líneas paralelas dividen el segmento AF en AD en n segmentos equidistantes. Ahora, dibújense rectas paralelas a AB a través de los puntos finales de esos segmentos en AF. Estas líneas paralelas intersecarán a la trisectriz. Al conectar esos puntos de intersección con A se obtiene una partición del ángulo BAE en n partes de igual tamaño.^[5]​

Como no todos los puntos del trisectriz pueden construirse solo con un círculo y una brújula, es realmente necesario como una herramienta adicional junto a la brújula y el círculo. Sin embargo, es posible construir un subconjunto denso de la trisectriz por círculo y brújula, por lo que si bien no puede asegurar una división exacta de un ángulo en n partes sin una trisectrix dada, puede construir una aproximación arbitrariamente cercana solo por círculo y brújula. ^[2]​^[3]​

Cuadratura del círculo

 

Cuadratura de un cuarto de círculo de radio 1

Cuadrar el círculo solo con regla y compás es imposible. Sin embargo, si se permite utilizar la cuadratriz de Hipias como una herramienta de construcción adicional, la cuadratura del círculo se hace posible debido al teorema de Dinostrato, que permite convertir un cuarto de círculo en un cuadrado de la misma área. En consecuencia, un cuadrado con el doble de longitud de su lado tiene la misma área que el círculo completo.

Según el teorema de Dinóstrato, la cuadratriz divide uno de los lados del cuadrado asociado en una proporción de ${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}$ .^[1]​ Para un cuarto de círculo dado con radio r se construye el cuadrado asociado ABCD con longitud de lado r. La cuadratriz se cruza con el lado AB en J con ${\displaystyle \left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r}$ . Ahora se construye un segmento de línea JK de longitud r que es perpendicular a AB. Entonces, la línea a través de A y K interseca la extensión del lado BC en L; y según el teorema de Tales se deduce que ${\displaystyle \left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r}$ . Extendiendo AB a la derecha por un nuevo segmento, ${\displaystyle \left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$  produce el rectángulo BLNO con los lados BL y BO, cuya área coincide con el área del cuarto de círculo. Este rectángulo se puede transformar en un cuadrado de la misma área con la ayuda del teorema de la media geométrica. Ahora, se extiende el lado ON mediante un segmento ${\displaystyle \left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}}$  y se dibuja un semicírculo a la derecha de NQ, que tiene NQ como diámetro. La extensión de BO se encuentra con el semicírculo en R y debido al teorema de Tales, el segmento OR es la altura del triángulo rectángulo QNR. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema de la media geométrica, lo que significa que OR forma el lado de un cuadrado OUSR con la misma área que el rectángulo BLNO, y por lo tanto, con la misma área que el cuarto de círculo.^[7]​

Téngase en cuenta que el punto J, donde la cuadratriz se encuentra con el lado AB del cuadrado asociado, es uno de los puntos de la cuadratriz que no se puede construir solo con regla y compás y ni siquiera con la ayuda del compás basándose en la cuadratriz en la definición geométrica original (véase el dibujo). Esto se debe al hecho de que las dos líneas que se mueven uniformemente coinciden y, por lo tanto, no existe un punto de intersección único. Sin embargo, confiar en la definición generalizada de la cuadratriz como una función o curva plana permite que J sea un punto de la cuadratriz.^[8]​^[9]​

Fuentes históricas

La cuadratriz se menciona en los trabajos de Proclo (412–485), Papo de Alejandría (siglos III y IV) y Jámblico (c. 240 - c. 325). Proclo nombra a Hipias como el inventor de una curva llamada cuadratriz y describe en otro lugar cómo Hipias había aplicado la curva al problema de la trisección. Papo solo menciona cómo Dinostrato, Nicomedes y otros utilizaron una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo, pero no mencionan a Hipias ni atribuyen la invención de la cuadratriz a una persona en particular. Jámblico simplemente escribe en una sola línea, que Nicomedes utilizó una curva llamada cuadratriz para cuadrar el círculo.^[10]​^[11]​^[12]​

Aunque basándose en el nombre utilizado por Proclo para denominar la curva, es concebible que el propio Hipias la usara para cuadrar el círculo o alguna otra figura curvilínea. La mayoría de los historiadores de las matemáticas asumen que Hipias inventó la curva, pero la usó solo para la trisección de ángulos. Su uso para cuadrar el círculo solo se produciría décadas después y se debió a matemáticos como Dinóstrato y Nicomedes. Esta interpretación de las fuentes históricas se remonta al matemático e historiador alemán Moritz Cantor.^[11]​^[12]​

Referencias

1. Horst Hischer: Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur "Historischen Verankerung" el 28 de marzo de 2012 en Wayback Machine.. In: Blankenagel, Jürgen & Spiegel, Wolfgang (Hrsg.): Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik — Festschrift für Harald Scheid. Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig: Klett 2000, pp. 97 – 118
2. Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, pp. 45–48 "Die Quadratur des Kreises" (excerpt, p. 47, en Google Libros)
3. Hans Niels Jahnke: A History of Analysis. American Mathematical Society 2003, ISBN 0821826239, pp. 30–31 (excerpt, p. 30, en Google Libros)
4. Weisstein, Eric W. «Cuadratriz of Hippias». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
5. Dudley Underwood: The Trisectors. Cambridge University Press 1994, ISBN 0883855143, pp. 6–8 (excerpt, p. 6, en Google Libros)
6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Cuadratriz of Hippias» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Quadratrix.html .
7. Audun Holme: Geometry: Our Cultural Heritage. Springer 2010, ISBN 9783642144400, pp. 114–116 (excerpt, p. 114, en Google Libros)
8. Jean-Paul Delahaye: Pi – Die Story. Springer 1999, ISBN 3764360569, p. 71 (excerpt, p. 71, en Google Libros)
9. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Dinostratus» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dinostratus.html .
10. Van der Waerden: Science Awakening. Oxford University Press 1961, p. 146
11. James Gow: A Short History of Greek Mathematics. Cambridge University Press 2010, ISBN 9781108009034, pp. 162–164 (excerpt, p. 162, en Google Libros)
12. Thomas Heath: A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid. Clarendon Press 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), pp. 182, 225–230 (online copy at internet Archive)

Bibliografía

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 9780883853481, pp. 146–147 (excerpt, p. 146, en Google Libros)
• Felix Klein: Famous Problems of Elementary Geometry. Cosimo 2007 (Nachdruck), ISBN 9781602064171, pp. 57–58 (excerpt, p. 57, en Google Libros) (complete online copy at archive.org)
• Audun Holme: Geometry: Our Cultural Heritage. Springer, 2010, ISBN 9783642144400, pp. 114–116 (excerpt, p. 114, en Google Libros)
• Thomas Little Heath: A History of Greek Mathematics. Volume 1. From Thales to Euclid. Clarendon Press, 1921 (Nachdruck Elibron Classics 2006), pp. 225–230 (online copy at archive.org)
• Horst Hischer: Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur "Historischen Verankerung" Klassische Probleme der Antike – Beispiele zur "Historischen Verankerung". In: Blankenagel, Jürgen & Spiegel, Wolfgang (Hrsg.): Mathematikdidaktik aus Begeisterung für die Mathematik — Festschrift für Harald Scheid. Stuttgart/Düsseldorf/Leipzig: Klett 2000, pp. 97 – 118 (alemán)
• Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Vieweg+Teubner, 2003, pp. 45–48 "Die Quadratur des Kreises" (excerpt, p. 45, en Google Libros) (alemán)

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Cuadratriz de Hipias.
• Michael D. Huberty, Ko Hayashi, Chia Vang: Hippias 'Quadratrix' '
• Weisstein, Eric W. «Quadratrix of Hippias». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Quadratrix of Hippias» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Quadratrix.html .

•   Datos: Q2121861
•   Multimedia: Quadratrix