Coordenadas bicéntricas

No debe confundirse con coordenadas bipolares.

En matemáticas, las coordenadas bicéntricas (también denominadas coordenadas bipolares de dos centros) son un sistema de coordenadas, basado en dos coordenadas que dan las distancias desde dos centros fijos, ${\displaystyle c_{1}}$ y ${\displaystyle c_{2}}$.^[1]​ Este sistema es muy útil en algunas aplicaciones científicas (como por ejemplo, calcular el campo eléctrico de un dipolo en un plano).^[2]​^[3]​

Coordenadas bicéntricas

Transformación a coordenadas cartesianas

La transformación a coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,\ y)}$  a partir de coordenadas bicéntricas ${\displaystyle (r_{1},\ r_{2})}$  tiene las expresiones

${\displaystyle x={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{4a}}}$ 

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4a}}{\sqrt {16a^{2}r_{2}^{2}-(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}+4a^{2})^{2}}}}$ 

donde los centros de este sistema de coordenadas están en ${\displaystyle (+a,\ 0)}$  y ${\displaystyle (-a,\ 0)}$ .^[1]​

Transformación a coordenadas polares

Cuando x> 0, la transformación a coordenadas polares a partir de coordenadas bicéntricas es

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2a^{2}}{2}}}}$ 

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\sqrt {r_{1}^{4}-8a^{2}r_{1}^{2}-2r_{1}^{2}r_{2}^{2}-(4a^{2}-r_{2}^{2})^{2}}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}\right)}$ 

donde ${\displaystyle 2a}$  es la distancia entre los dos centros del sistema de coordenadas.

Véase también

• Coordenadas biangulares
• Lemniscata de Bernoulli
• Óvalo de Cassini
• Óvalo cartesiano
• Elipse

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Bipolar coordinates». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
2. R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods.
3. The periodic standing-wave approximation: nonlinear scalar fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.

•   Datos: Q4087586