Coordenadas biangulares

En matemáticas, las coordenadas biangulares son un sistema de coordenadas del plano donde ${\displaystyle C_{1}}$ y ${\displaystyle C_{2}}$ son dos puntos fijos, y la posición de un punto P no alineado con ${\displaystyle {\overline {C_{1}C_{2}}}}$ está determinada por los ángulos ${\displaystyle \angle PC_{1}C_{2}}$ y ${\displaystyle \angle PC_{2}C_{1}}$.

Coordenadas biangulares

Historia

Este tipo de coordenadas fue examinado por primera vez por Lazare Carnot, quien publicó sus resultados en 1803.^[1]​

Paso de coordenadas biangulares a cartesianas

Dado un punto por sus coordenadas biangulares ${\displaystyle P(\theta _{1},\theta _{2})}$  respecto a los dos puntos de referencia de coordenadas ${\displaystyle c_{1}=(a,0)}$  y ${\displaystyle c_{2}=(-a,0)}$ , para determinar sus coordenadas cartesianas ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$ , se debe calcular la intersección de las rectas ${\displaystyle r_{1}}$  y ${\displaystyle r_{2}}$  que pasan por ${\displaystyle c_{1}}$  y ${\displaystyle c_{2}}$  con los ángulos ${\displaystyle \theta _{1}}$  y ${\displaystyle \theta _{2}}$  respectivamente:

${\displaystyle r_{1}\equiv y=(x-a)\tan(\pi -\theta _{1})}$ 

${\displaystyle r_{2}\equiv y=(x+a)\tan \theta _{2}}$ 

para simplificar la notación, si se denominan:

${\displaystyle m_{1}=\tan(\pi -\theta _{1})}$ 

${\displaystyle m_{2}=\tan \theta _{2}}$ 

se tiene que resolviendo la intersección de las dos rectas, resulta que ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$ :

${\displaystyle x_{p}={\frac {a\;(m_{1}+m_{2})}{m_{1}-m_{2}}}}$  ; ${\displaystyle y_{p}={\frac {2a\;m_{1}\;m_{2}}{m_{1}-m_{2}}}}$ 

Paso de coordenadas cartesianas a biangulares

Utilizando la misma notación, es inmediato deducir que a partir de las coordenadas cartesianas de un punto ${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$ , se obtienen las coordenadas biangulares ${\displaystyle P(\theta _{1},\theta _{2})}$  según las expresiones:

${\displaystyle \theta _{1}=\pi -\arctan 2{\frac {y_{p}}{x_{p}-a}}}$  ; ${\displaystyle \theta _{2}=\arctan 2{\frac {y_{p}}{x_{p}+a}}}$ 

siendo arctg2 una generalización de la función trigonométrica arcotangente con dos parámetros, utilizada a menudo en relaciones inversas en un plano para evitar la ambigüedad en el ángulo resultante.

Curvas en coordenadas biangulares

En coordenadas biangulares se pueden expresar fácilmente las ecuaciones de algunas curvas:^[2]​

Ecuación de una circunferencia:

• ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=k}$ 

Ecuación de la hipérbola:

• ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=k}$ 

Cuando los puntos ${\displaystyle c_{2}}$  y ${\displaystyle c_{1}}$  se eligen con las coordenadas ${\displaystyle (0,0)}$  y ${\displaystyle (1,0)}$ , la expresión de las siguientes curvas toma la forma:

Ecuación de la parábola ${\displaystyle (y=x^{2}-x)}$ :

(Pasa por los puntos ${\displaystyle c_{2}}$  y ${\displaystyle c_{1}}$ )

• ${\displaystyle \tan \theta _{1}-\tan \theta _{2}=1}$ 

Ecuación de la elipse ${\displaystyle (y=k{\sqrt {0.5^{2}-(x-0.5)^{2}}})}$ :

(su diámetro pasa por los puntos ${\displaystyle c_{2}}$  y ${\displaystyle c_{1}}$ , y la relación entre la longitud de sus ejes es ${\displaystyle k}$ )

• ${\displaystyle \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}=-k^{2}}$ 

Véase también

• Coordenadas bipolares
• Coordenadas bicéntricas

Referencias

1. Michael Naylor and Brian Winkel: Biangular Coordinates Redux: Discovering a New Kind of Geometry College Mathematics Journal 41:1 September 12, 2009, s. 31
2. Michael Naylor and Brian Winkel. «Biangular Coordinates Redux Discovering a New Kind of Geometry» (en inglés). Consultado el 5 de abril de 2019. 

Bibliografía

• G. B. M. Zerr Biangular Coordinates, American Mathematical Monthly 17 (2), February 1910
• Naylor, “A New Kind of Geometry: the Biangular Coordinate System”
• J. C. L. Fish.Coordinates Of Elementary Surveying, p.38, READ BOOKS, 2007
• George Shoobridge Carr. Formulas and theorems in pure mathematics. p.742. Chelsea Pub. Co., 1970
• Howard W. Baeumler. Biangular coordinates. University of Buffalo, 1950

•   Datos: Q1014373