cis (matemáticas)

La expresión cis es una notación matemática poco usual, utilizada para designar de forma compacta la función^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​^[5]​^[6]​^[7]​^[8]​

${\displaystyle {\text{cis}}(x)=\cos(x)+i\sin(x)}$

donde cos es la función coseno, i es unidad imaginaria y sin es la función seno. La notación se usa con menos frecuencia que la fórmula de Euler ${\displaystyle e^{ix}}$, que ofrece una notación aún más breve y más general para cos(x) + i sin(x).

Visión general

La notación cis fue acuñada por primera vez por William Rowan Hamilton en Elementos de los cuaterniones (1866)^[9]​ y posteriormente fue utilizada por Irving Stringham en trabajos como Álgebra uniplanar (1893),^[10]​^[11]​ o por James Harkness y Frank Morley en su Introducción a la teoría de funciones analíticas (1898).^[11]​^[12]​ Conecta las funciones trigonométricas con la función exponencial en el plano complejo a través de fórmula de Euler.

Se utiliza principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones,^[9]​^[10]​^[3]​ por ejemplo, junto con las transformadas de Fourier y de Hartley,^[2]​^[6]​^[7]​ o cuando las funciones exponenciales no deben usarse todavía por algún motivo en la educación matemática.

En tecnología de la información, la función posee un soporte dedicado en varias bibliotecas matemáticas de alto rendimiento (como la Math Kernel Library (MKL)^[13]​ de Intel), disponible para muchos compiladores de lenguajes de programación (incluidos C, C++,^[14]​ Common Lisp,^[15]​^[16]​ D,^[17]​ Fortran,^[18]​ Haskell,^[19]​ y Julia^[20]​), y sistemas operativos (incluidos Microsoft Windows, Linux,^[18]​ macOS y HP-UX^[21]​). Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente el doble de rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente.^[17]​^[22]​

Relación con la función exponencial compleja

La función exponencial puede ser expresada como^[1]​

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),}$ 

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)}$ 

${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$ 

${\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$ 

${\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$ 

donde i² = −1.

Esto también se puede expresar utilizando la siguiente notación

${\displaystyle \operatorname {cis} (x)=\cos(x)+i\sin(x),}$ ^[1]​^[4]​^[22]​

es decir, "cis" abrevia "cos + i sin".

Aunque a primera vista esta notación es redundante, siendo equivalente a e^ix, su uso se basa en varias ventajas, como estar directamente vinculada a la forma polar de un número complejo (y ser más fácil de comprender).

Identidades matemáticas

Derivada

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}$ ^[1]​^[23]​

Integral

${\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}$ ^[1]​

Otras propiedades

Estas propiedades se deducen directamente de la fórmula de Euler.

${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}$ ^[24]​

${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}$ 

Las identidades anteriores se mantienen si x e y son números complejos. Si x e y son reales, entonces^[24]​

${\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|.}$ 

Historia

Esta notación era más común en la era posterior a la Segunda Guerra Mundial, cuando se transcribían expresiones matemáticas utilizando máquinas de escribir.

Los superíndices están desplazados verticalmente y son más pequeños que 'cis' o 'exp'; por lo tanto, pueden ser problemáticos incluso para la escritura manual, por ejemplo, e^ix2 frente a cis(x²) o exp(ix²). Para muchos lectores, cis(x²) es el más claro y fácil de leer de las tres expresiones.

La notación cis se usa a veces para enfatizar un método de enfocar y tratar un problema. Las matemáticas de la trigonometría y los exponenciales están relacionadas pero no son exactamente iguales. La notación exponencial enfatiza el todo, mientras que las notaciones cis(x) y cos(x) + i sin(x) enfatizan las partes. Esto puede ser retóricamente útil para los matemáticos e ingenieros cuando se discute esta función, y además servir como regla mnemotécnica (para cos + i sin).

La notación cis es conveniente para los estudiantes de matemáticas cuyo conocimiento de trigonometría y números complejos permiten esta notación, pero cuya comprensión conceptual aún no permite la notación e^ix. A medida que los alumnos aprenden conceptos que se basan en conocimientos previos, es importante no forzarlos a niveles matemáticos para los que aún no están preparados: la prueba habitual de que cis(x) = e^ix requiere cálculo infinitesimal, que el estudiante no debe haber estudiado antes de encontrar la expresión cos(x) + i sin(x).

En 1942, inspirado en la notación cis, Ralph V. L. Hartley introdujo la función cas (para cosine-and-sine) en el Hartley kernel de valor real, una abreviatura ideada a la vez con la transformada de Hartley:^[25]​^[26]​

cas(x) = cos(x) + sin(x).

Véase también

• Fórmula de De Moivre
• Fórmula de Euler
• Número complejo
• Teorema de Ptolomeo
• Fasor

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (2015). . MathWorld. Wolfram Research (2000). Archivado desde el original el 27 de enero de 2016. Consultado el 9 de enero de 2016. 
2. L.-Rundblad, Ekaterina; Maidan, Alexei; Novak, Peter; Labunets, Valeriy (2004). . Escrito en Prometheus Inc., Newport, USA. En Byrnes, Jim, ed. Computational Noncommutative Algebra and Applications. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry (NAII) 136. Dordrecht, Netherlands: Springer Science + Business Media, Inc. p. 401-411. ISBN 978-1-4020-1982-1. ISSN 1568-2609. doi:10.1007/1-4020-2307-3. Archivado desde el original el 28 de octubre de 2017. Consultado el 28 de octubre de 2017. 
3. Swokowski, Earl; Cole, Jeffery (2011). «Precalculus: Functions and Graphs». Precalculus Series (12 edición) (Cengage Learning). ISBN 978-0-84006857-6. ISBN 0-84006857-3. Consultado el 18 de enero de 2016. 
4. Simmons, Bruce (2014-07-28 (2004)). «Cis». Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. Consultado el 15 de enero de 2016. 
5. Simmons, Bruce (2014-07-28 (2004)). «Polar Form of a Complex Number». Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. Consultado el 15 de enero de 2016. 
6. Kammler, David W. (17 de enero de 2008). A First Course in Fourier Analysis (2 edición). Cambridge University Press. ISBN 978-1-13946903-6. ISBN 1-13946903-7. Consultado el 28 de octubre de 2017. 
7. Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (14 de noviembre de 2016). The Fractional Trigonometry: With Applications to Fractional Differential Equations and Science. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-11913942-3. ISBN 1-11913942-2. Consultado el 28 de octubre de 2017. 
8. Pierce, Rod (2016-01-04 (2000)). «Complex Number Multiplication». Maths Is Fun. Consultado el 15 de enero de 2016. 
9. Hamilton, William Rowan (1 de enero de 1866). «II. Fractional powers, General roots of unity». Escrito en Dublin. En Hamilton, William Edwin, ed. Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) (1 edición). London, UK: Longmans, Green & Co. pp. 250-257, 260, 262-263. Consultado el 17 de enero de 2016. «[…] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]».  ([1], [2])
10. Stringham, Irving (1893-07-01 (1891)). Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) (1 edición). San Francisco, US: The Berkeley Press. pp. 71-75, 77, 79-80, 82, 84-86, 89, 91-92, 94-95, 100-102, 116, 123, 128-129, 134-135. Consultado el 18 de enero de 2016. «As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ.». 
11. Cajori, Florian (1952). A History of Mathematical Notations 2 (2 (3rd corrected printing of 1929 issue) edición). Chicago, US: Open court publishing company. p. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7. Consultado el 18 de enero de 2016. «Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley.».  (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
12. Harkness, James; Morley, Frank (1898). Introduction to the Theory of Analytic Functions (1 edición). London, UK: Macmillan Publishers. pp. 18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1-16407019-1. ISBN 1-16407019-3. Consultado el 18 de enero de 2016.  (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
13. Intel. «v?CIS». Intel Developer Zone. Consultado el 15 de enero de 2016. 
14. «Intel C++ Compiler Reference». Intel Corporation. 2007 (1996). pp. 34, 59-60. 307777-004US. Consultado el 15 de enero de 2016. 
15. «CIS». Common Lisp Hyperspec. The Harlequin Group Limited. 1996. Consultado el 15 de enero de 2016. 
16. «CIS». LispWorks, Ltd. 2005 (1996). Consultado el 15 de enero de 2016. 
17. «std.math: expi». D programming language. Digital Mars. 2016-01-11 (2000). Consultado el 14 de enero de 2016. 
18. «Installation Guide and Release Notes». Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 for Linux (11.0 edición). 6 de noviembre de 2008. Consultado el 15 de enero de 2016. 
19. «CIS». Haskell reference. ZVON. Consultado el 15 de enero de 2016. 
20. . Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2017. Consultado el 3 de agosto de 2019. 
21. «HP-UX 11i v2.0 non-critical impact: Changes to the IPF libm (NcEn843) – CC Impacts enhancement description – Major performance upgrades for power function and performance tuneups». Hewlett-Packard Development Company, L.P. 2007. Consultado el 15 de enero de 2016.  (Enlace roto, julio de 2019)
22. . 5.10. April 2003. pp. 114, 117, 183, 186-187. Archivado desde el original el 6 de junio de 2016. Consultado el 17 de octubre de 2010. 
23. Fuchs, Martin (2011). «11: Differenzierbarkeit von Funktionen». Analysis I (en alemán) (WS 2011/2012 edición). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universidad del Sarre, Germany´. pp. 3, 13. Consultado el 15 de enero de 2016. 
24. Fuchs, Martin (2011). «8.IV: Spezielle Funktionen – Die trigonometrischen Funktionen». Analysis I (en alemán) (WS 2011/2012 edición). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universidad del Sarre, Germany´. pp. 16-20. Consultado el 15 de enero de 2016. 
25. Hartley, Ralph V. L. (March 1942). «A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to Transmission Problems». Proceedings of the IRE 30 (3): 144-150. doi:10.1109/JRPROC.1942.234333. 
26. Bracewell, Ronald N. (June 1999). The Fourier Transform and Its Applications (3 (1985, 1978, 1965) edición). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07303938-1. 

•   Datos: Q22093344