Anillo de fracciones

En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo ${\displaystyle A}$ y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de ${\displaystyle A}$ es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio ${\displaystyle A}$ no lo sea.

Construcción del anillo de fracciones de un anillo

Sea ${\displaystyle A}$  un anillo conmutativo. Sea ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subset A}$  un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:

• no contiene al cero del anillo: ${\displaystyle 0\notin {\mathcal {D}}}$ .
• es multiplicativamente cerrado: ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}\implies ab\in {\mathcal {D}}}$ .

Consideremos en ${\displaystyle A\times {\mathcal {D}}}$  la relación binaria

${\displaystyle (a,s)\!\sim \!(b,t)\ \Leftrightarrow \ \exists u\!\in {\mathcal {D}}\ :\ u(at-sb)=0}$ .

Es fácil comprobar que ${\displaystyle \sim }$  es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente ${\displaystyle (A\times {\mathcal {D}})/\sim }$  que denotaremos por ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A\;}$ . Indicaremos por ${\displaystyle a/s}$  o ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$  a la clase del elemento ${\displaystyle (a,s)}$ .

Las operaciones adición y producto dadas por

${\displaystyle {a \over s}+{b \over t}={at+bs \over st}}$ 

${\displaystyle {a \over s}\cdot {b \over t}={ab \over st}}$ 

están bien definidas y dotan a ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A}$  de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo ${\displaystyle A}$  respecto de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ : ${\displaystyle (\ {\mathcal {D}}^{-1}A,+,\cdot )}$ .

La inclusión natural ${\displaystyle A\to {\mathcal {D}}^{-1}A}$

Dado un elemento fijo ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}}$  cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por

${\displaystyle A\to {\mathcal {D}}^{-1}A\ :\ a\mapsto {\tfrac {ad}{d}}}$ .

La imagen ${\displaystyle {\frac {d'd}{d}}}$  de cada denominador ${\displaystyle d'\in {\mathcal {D}}}$  tiene un inverso multiplicativo ${\displaystyle {\tfrac {d}{d'd}}}$  en ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A}$ .

No obstante, si el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  contiene divisores de cero, p.e. el elemento ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}}$  siendo ${\displaystyle bd=0}$ , tendríamos

${\displaystyle b\mapsto {\frac {bd}{d}}={\frac {0}{d}}=0}$ ,

con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.^[1]​

En caso contrario, si el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo ${\displaystyle A}$  de manera natural en el anillo de fracciones ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{-1}A}$ , que es de hecho el menor anillo que contiene a ${\displaystyle A}$ , salvo isomorfismo, en el que cada denominador ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}}$  tiene inverso.

Cuando el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de ${\displaystyle A}$ . Si ${\displaystyle A}$  es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de ${\displaystyle A}$ .

Véase también

• Fracción.
• Cuerpo de fracciones.
• Inverso multiplicativo.

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª edición). Wiley. p. 261. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Ring of Fractions». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Total Ring of Fractions». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q5695923